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§ 7. _ Risoluzione dei punti singolari di una curva algebrica {^). 

 Un'applicazione della nozione di corde vniproprie. 



37. _ Una curva algebrica C d'ordine m di S„ = I abbia il punto P multiplo 

 secondo s. Si assuma P come punto fondamentale di una trasformazione quadratica 

 e si disponga della ]VC_2 = T fondamentale della trasformazione in modo che non 

 incontri nessuna tangente in P a C né la curva C stessa (necessariamente rS„_i di 

 r non passi inoltre per P). Nello spazio trasformato I' siano 0' il punto fondamen- 

 tale isolato della trasformazione, V la Ml_2 fondamentale, E' l'S„_i di f; infine sia 

 C la trasformata di C; C sarà d'ordine 2m — s e segherà E' fuori di T' in uno o 

 più punti P'nP'j,... trasformati di P (corrispondendo un punto ad ogni tanèente 

 — distinta - di C in P). All'infuori di questi C non avrà altri punti multipli, 

 fuori di 0' e f che i trasformati dei punti multipli di C, colle stesse multiplicità ; 

 infine avrà 0' m-plo a tangenti distinte se si fa in modo che l'S»., di V seghi C 

 in m punti distinti, e avrà 2{m — s) punti su T', semplici se si fa in modo che su 

 nessuna generatrice del cono t che proietta f da P stiano due punti di C, e in 

 questi punti C non è tangente a E' (Notoriamente se m = 2 l'ultima condizione 

 imposta a T non si può soddisfare, ma allora i 2(m — s) punti di C su T' si raccol- 

 gono in due punti (m — s)pli ordinari — nei due punti di cui si compone V). Segue 

 che E' interseca C fuori di V, cioè nei punti P'j, P'», . - . s volte. Quindi la somma 

 delle multiplicità di questi punti è < s: e se i punti sono piii di uno, o, pur essendo 

 uno solo ha multiplicità < s la singolarità di P è abbassata. In ogni caso su questi 

 punti trasformati di P (o meglio su quelli fra essi che sono multipli) si operi come 

 si è detto per P, e così si prosegua. Risulterà dal seguito che, dopo un numero 

 finito di trasformazioni, si ottengono solo più punti trasformati di P, semplici. 



38. ~ Sia h il numero delle corde di C appoggiate ad un S„_3 generico. Il 

 sistema oo' delle corde appoggiate ad un S„_i costituisce, come luogo di punti, una 



(') La possibilità di risolvere in punti semplici i punti singolari di una curva algebrica piana 

 con trasformazioni Cremoniane, è stata provata dal sig. Noether in lavori ormai classici. Furono 

 date in seguito altre dimostrazioni che "e qui inutile ricordare. Per le curve gobbe (in S3) e n- 

 dueendosi sempre all'uso di trasformazioni Cremoniane si deve ricordare una dimostrazione del 

 sig. Del Pezzo (Intorno ai punti singolari delle superficie algebriche, ' Rend. Gire. Mat. Palermo „ VI, 

 1894, p. 144-145), Quella del sig. Pannelli, Sulla riduzione delle singolarità di una curva gobba, 

 ' Reìid. Ist. Lombardo „ (2), 26, 1893, p. 216), quella del prof. Segbe (Sulla scomposizione dei punti 

 angolari di una superfi<sie algebrica. " Annali di Mat. „ (2). 25, 1896, p. 9) e una mia (Sulla riduzione 

 delle singolm-ità puntuali delle superficie idgebriche dello spazio ordinario per trasfernhazioHi t^uadra- 

 tiche, ' Annali di Mat. „ (2), 26, 1897). Per le curve degli spazi superiori non conosco alcuna dimo- 

 strazione; ma quelle ricordate per le curve del nostro spazio si estendono facilmente anche ad esse; 

 onde non m'indurrei a presentare ora una nuova dimostrazione (valida appunto per le curve im- 

 merse in uno spazio qualunque), se non mi paresse di qualche interesse la formola cui essa conduce 

 pel primo rango della curva. 



