51 SULLA VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 133 



Mo dell'ordine h -j- ^"-^^^ — ^0= il numero delle corde appoggiate ad un S„_8 e a una 



MX-2 (cioè l'ordine della varietà Mz generata dalle corde appoggiate alla M^_^) è 

 quindi 2/j + »?(»! — 1), e il numero delle corde appoggiate a due W„^ è 4:h-\-2m{m — 1). 

 D'altra parte la varietà x delle corde di C costituisce, come insieme di punti di Z, 

 una M3 d'ordine h, onde ad ogni MLs si appoggiano 2h corde di C; se dunque due 

 MLs hanno comune una M^_3, il numero delle corde di C che si appoggiano ad 

 entrambe e non a questa Mf,_3 è 



2[h + mini — 1)] = 2E;. 



Si assoggetti la curva C alla trasformazione quadratica considerata nel n° prec. 

 Sia H una Mi-j appoggiata a f secondo una MLs, non passante per P e tale che 

 nessuna delle 2K corde di C appoggiate in punti distinti a H e f passi per un punto 

 d'intersezione di C e t di H e T, e tale che rS„_2 che contiene la M^_3 comune 

 a T e H fuori di F non incontri alcuna tangente a C in P. Le 2K corde nominate 

 sono trasformate dalla corrispondenza quadratica nelle corde di C appoggiate a H' 

 (trasformata di H) e a f e non passanti ne per punti diella ML3 comune a H' e f, 

 ne per punti comuni a C e f. 



Sia ora h' il numero delle corde di C appoggiate ad un S„_3. Il numero delle 

 corde appoggiate in punti distinti a T' e H' è 



2K' = 2[h' + (2w — s) (2m — s — 1)] 



(Il ragionamento che conduce alla determinazione di 2K mostra che si debbono con- 

 tare in questo numero le eventuali corde appoggiate alla ML3 comune alle due M^j e 

 in un altro punto ad una di queste Mf,_2). 



Ci proponiamo di calcolare la differenza K' ^ K. Il numero 2K' si compone evi- 

 dentemente di tre parti: 



1° Il numero delle corde appoggiate a f e a H', e a C in punti non appar- 

 tenenti a r', ne giacenti in E'; sono le trasformate delle corde di C appoggiate 

 a r e a H; questo numero è quindi 2K; 



2° Il numero delle corde appoggiate a f e a H', e a C in punti di cui uno 

 sta su r' ; queste corde non hanno corrispondenti in Z : precisamente corrispondono 

 alle rette appoggiate a f, a H, a C, e a una generatrice di t> per un punto di C. 

 Essendo le varietà fondamentali della trasformazione scelte in posizione convenien- 

 temente generica, per ognuno dei 2(/w — s) punti di C su f passano 2(2»* — s — 1) di 

 tali corde. Il numero qui considerato è quindi 4(w — s) {2m — s — 1). 



3° Il numero delle «vent^jali corde improprie di C relative ai punti P'i, P'2, . . . 

 appoggiate, in punti distinti, a f ' e a H'. Si noti che H' è una M^_2 arbitraria (gene- 

 rica), appoggiata a f secondo una IV^-jj quindi non esistono le corde improprie qui 

 nominate se non quando almeno un piano principale di C relativo ai punti P'i, P'2, . . . 



(') Per le curve dello spazio ordinario cfr. Zeuthdn, Sur les sinyuiarités wdmaires d'une courbe 

 gauche et d'une surface développahle, ' Ann. di Mat. ,, (2), 3. 



