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sta in E'; ma reciprocamente ogni piano principale di C in E' è incontrato in due 

 punti da una MLs generica di f (la M?,_3 = f H'), e questi determinano due corde 

 improprie in quel piano principale le quali incontrano, ciascuna, una seconda volta 

 r fuori di detta Mf,_3. Ciascuna di queste corde conta quindi nella parte di 2K' che 

 qui si considera, e entrambe contano uno stesso numero i di volte, poiché la M^_3 è 

 generica in f ('). La S'' parte di 2K è quindi 2 § i , essendo la somma § estesa a 

 tutti i piani principali di C in E'. 

 Adunque 



2K' = 2K -f 2'^i + 4(m — s) i2m — s — 1). 



Ma si è trovato K = h-\- m(m — 1) e K' = h' -\- {2m — s) {2m — s — 1). 

 Sostituendo nella precedente relazione, dopo aver diviso i due membri per 2 si 

 ha dunque: 



A' = /t+(m-s) (w — s- 1) + S'- (1) 



39. — Sia ora ri il primo rango di C, r\ quello di C. Il numero delle tan- 

 genti a C appoggiate a f è 2ri; queste tangenti stanno tutte fuori di E e di t, e, 

 se r è scelto con sufficiente generalità, sono pure fuori di t i loro punti di contatto 

 (fuori di E lo sono necessariamente). La trasformazione le muta nelle tangenti di C 

 m punti non appartenenti a E', appoggiate a f. Per ottenere le 2r\ tangenti di C 

 appoggiate a V si deve aggiungere le 2(m — s) tangenti nei pvmti comuni a C e f 

 contate ciascuna due volte (^) e le tangenti a C nei punti P',,P'o,... contenute 

 in E'; sia 2t la multiplicità di una di queste tangenti fra le tangenti di C appog- 

 giate a f {*). Sarà dunque 



r\ = n + 2(m-s) + Sf. (2) 



Ciò posto, se si proietta C da un S„_3 generico di Z su un piano si ottiene una 

 curva di ordine m e classe n e per cui sono punti doppi le intersezioni del piano 

 cogli h S„_2 proiettanti che contengono una corda di C; dunque 



ri < m(m — 1) — 2A = p,. (a) 



Analogamente 



r\ < (2ot. — s) (2m — s — 1) — 2/t' — m(tn — 1) (a') 



(poiché C ha 0' come punto m-plo); ossia, per le (1) e (2), 



r, < m{m - 1) - 2h — s{s - 1) — p - 2^i = p^ (P) 



Si ha 



Pi-p, = s(s-l) + S« + 2Si. (3) 



(') Ritornerò tosto sul numero i (n" 42). 



(°) Numero delle tangenti appoggiate ad un Sn-2. 



(') Poiché C è curva cuspidale della propria sviluppabile osculatrice. 



(') Anche sul numero t ritornerò tosto (n* 41). 



