53 SULLA VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 135 



Sia Sa la multiplicità di P'^ ; si assoggetti P'a ad una trasformazione analoga a 

 quella effettuata su P e siano ^t,, e §«), i numeri analoghi a ^t, ^i; sia inoltre p' 

 l'analogo di p^; sarà 



P' ^ '•, (t) 



P2~p' = s,(s,-l) + S^ + 2Si,. 



p, - p' = s(s - 1) + s,{s, - 1) + S< + S^'. + 2 S» + 2 S4. 



Proseguendo nelle operazioni si ha cosi dopo k trasformazioni. 



p, - p'*) = Z s(s - 1) + Zi + 2 Zi (4) 



ove le somme Z sono estese a tutti i numeri analoghi rispettivamente a s, t, i che 

 si ottengono nelle k trasformazioni; inoltre sempre 



p(*) > n > 

 onde 



p, — pW < p,. 



I numeri t, i sono tutti positivi o nulli; e i numeri s{s — 1) sono tutti > finché 

 si considerano punti trasformati di P multipli per la curva cui appartengono: finche 

 si ottengono tali trasformati multipli la differenza pi — p"' va quindi crescendo (per 

 numeri interi) ; ma essa ha per limite superiore il numero finito Pi ((a)). Adunque 

 dopo un numero finito di trasformazioni il punto P dovrà essersi sciolto in punti 

 tutti semplici. 



40. — Essendo finito il numero dei punti multipli di C si può così, con un 

 numero finito di trasformazioni, ridurla ad una curva in cui ai punti multipli di C 

 corrispondono solo punti semplici; in cui inoltre compariranno solo punti multipli 

 ordinari. Allora, nella corrispondente relazione analoga alle (a) (8) (y) si deve sce- 

 gliere il segno =; quindi, analogamente alia (P), 



ri = m{m — 1) — Z s(.s — 1) — 2/i — Zi — 2 Zi : (5) 



formola del primo rango per le curve a singolarità superiori (che tosto modificherò 

 ancora leggermente) ('). 



41. — Passerò ora all'ulteriore analisi dei numeri t e ì .r'ih il numero dei 

 punti d'intersezione di f colla sviluppabile delle tangenti a C, od anche il numero 

 dei punti d'intersezione di f coll'intersezione di questa sviluppabile con E'. Questa 



(') La precedente dimostrazione e la formula (5) che se ne è dedotta aono valide qualunque sia 

 la dimensione di Z ; aoltanto pel caso del piano non avrà più senso il numero h che si dovrà assu- 

 mere = 0; non hanno allora luogo i ragionamenti del n° 38 e la dimostrazione diviene l'interpre- 

 tazione geometrica di quello del sig. Noether, ' Math. Ann. ,, 9. 



