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curva si compone dell'insieme delle tangenti di C in E' (tangenti tutte nei punti 

 P'i, P's!, . . .) e di una curva a' (passante per P'i, P',, . . ,); ora è facile vedere che, 

 se si sceglie f in modo che non seghi le possibili tangenti a C appoggiate all'inter- 

 sezione di T coi piani osculatori a C in P (che inoltre non seghi, come già si è sup- 

 posto, le tangenti a C in P), f non passa per punti comuni a ff' e alle dette tan- 

 genti in P'i, P'2, ... Ciascuna di queste tangenti è poi incontrata due volte da f ; quindi 

 il numero t relativo ad essa è il numero delle volte che essa conta fra le tangenti 

 di C appoggiate ad un S,._2 generico di E'. Di qui facilmente 



essendo la seconda somma ^ estesa a tutti i punti P'^ ('). Analoghe espressioni si 

 hanno per ^k, . . . i^h = s^ — ^Sz-k, • • •) ; quindi se Np è il numero dei rami di C per P, 

 la parte di Tt relativa al punto P (nella formola (5)) è 



s — Np 



poiché gli Np ultimi trasformati di P sono tutti punti semplici. Se infine si indicano 

 con Vi , V2, . . . , Vp gli ordini degli Np rami per P, s = Vi + Vz + . . . + vp ; quindi 



s_Np = Z(v — 1) 



ove la Z è estesa a tutti i rami per P. Lo stesso ripetendo per ogni punto multiplo 

 di C si ha infine 



I< = I(v — 1) 



la seconda ■£ essendo estesa a tutti i rami superlineari di C. La (5) si muta cos'i 

 nella formola pel primo rango (°). 



,; = mim — 1) - 2/i - I s(s ~ 1) - I (V — 1) - 2 I i. 



42. — Passiamo all'analisi dei numeri i —. La rigata A' delle corde di C ap- 

 poggiate afe costituita dall'insieme dei piani principali di C cadenti in E' e di una 

 rigata X' non contenuta in E', segante E' secondo una curva contenuta in P e se- 

 condo rette. Il numero 2K' è uguale al numero delle intersezioni di H' con A' di- 

 minuito del numero di tali intersezioni che corrispondono a corde (generatrici di A'), 

 incontranti H' e V nello stesso punto. Si può sempre supporre scelto H' con tale 



(') Infatti se si proietta C da un S„-3 generico di E' su un piano si ottiene una curva per cui 

 le proiezioni dei punti F'h sono punti di multiplicità rispettive sh e la proiezione delle tangenti 

 a C in E' è un'unica tangente alla curva proiezione in questi punti. Questa retta incontra la curva 

 in questi punti s volte (numero delle intersezioni di E' e C in P'i , P'j, ...), quindi la sua multipli- 

 cità come tangente è precisamente s — Ssh. 



C) Questa formola mostra che Isis— l)< m{m — l) e dà il significato geometrico della diffe- 

 renza fra i due membri. 



