55 SULLA. VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 137 



generalità che nel suo S„_i non cadano generatrici di A' e che non incontri f in 

 punti appartenenti a generatrici di \' in E', e non sia tangente a \' in punti appar- 

 tenenti a E'. Allora 2K' è il numero delle intersezioni di H' con X' fuori di E' aumen- 

 tato della metà del numero delle intersezioni di H' coi piani principali di C in 

 E' contati colle loro multiplicità in A'. Questa seconda parte è la 2§i. Ogni piano 

 principale essendo incontrato da H' in due punti, e H' non essendo tangente ad esso, 

 il numero i relativo a un tal piano è adunque uguale alla metà della multiplicità 

 del piano in A'. 



Segando ora A' con un S„_2 qualunque di E' si vede che detta multiplicità è 

 doppia di quella del piano stesso nella rigata delle corde di C appoggiate a un 

 tal S„_2. Questa multiplicità si può calcolare segando la nuova rigata con un S„_2 

 qualunque, in particolare appoggiato al precedente secondo un S,,-,; quindi i è la 

 multiplicità di una corda impropria- generica del piano principale cui essa_ appartiene 

 fra le corde appoggiate ad un S„_3 generico di E' (che la incontri). La condizione che 

 a prima vista apparirebbe che l'S„^o passi per un punto d' intersezione della corda 

 impropria con f è superflua in seguito al n" 36. 



§ 8. — Generazione delle eorde improprie 

 per mezzo delle trasf orinazioni quadratiche. 



43. — Nel § prec. abbiamo sempre supposto H e H' in posizioni generiche (se- 

 gando esse sempre F e f risp. secondo M'Ls) ; in particolare non esistevano corde 

 improprie relative a P appoggiate ad H ed a V. Se ora si suppone che H assuma po- 

 sizioni particolari — in particolare che venga ad appoggiarsi a corde improprie 

 relative a P incontranti V —, ne risulterà una riduzione nel numero delle corde 

 proprie di C appoggiate a H e F in punti distinti e conseguentemente una riduzione 

 nel numero delle corde proprie di C appoggiate a H' e f in punti distinti; ma, pur 

 conservando l'ipotesi ora fatta su H, lo si può mutare in modo che a H' e f non si 

 appoggino corde improprie di C relative a punti non appartenenti a E' (cioè non tras- 

 formati di P') C); la detta riduzione va dunque attribuita ad un aumento della 

 nniltiplicità delle corde di C giacenti in E' fra le corde appoggiate a H' e f in punti 

 distinti. Otteniamo cosi un nuovo mezzo (sintetico) per lo studio delle corde impro- 

 prie e la prova stessa della loro esistenza: la loro generazione per trasformazioni. 

 Farò breve cenno di ciò in questo §. 



44. — Semplificherò i ragionamenti supponendo V spezzato in due S„_2 di E: G, Gì 

 (cfr. n° 30); V, sarà analogamente spezzato in due S„_2 di E':G', G'i. Si può allora 

 assumere anche H spezzato in due S„_2 F, Fi appoggiati rispettivamente a Gì e a G 

 secondo S„_3. Analogamente H' si spezzerà in due S„_2 F', Ì*i appoggiati secondo 

 S„_..; rispettivamente a G'i e a G'. Il numero K è allora uguale al numero delle corde 



(') Basta perciò che non si appogrgino a H e T corde improprie eli C relative a punti diversi 

 da P (cfr. § 5), ne le corde (proprie) giacenti in E. 



Serik II. Tom. XLVIII. b 



