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di e appoggiate a F e G aumentato di ni{m — l); analogamente K' è uguale al nu- 

 mero delle corde di C appoggiate ad F' e C'aumentato di {2m — s)(2m — s — 1). 

 Per Io studio dei numeri i si può adunque sostituire all'insieme delle corde appog- 

 giate a H e r quello delle corde appoggiate a F e G (e il corrispondente insieme 

 delle corde appoggiate a F' e G'j. Indicherò con m' la rigata delle corde di C ap- 

 poggiate a G', fatta astrazione dai piani principali di C relativi ai punti F'i,P'2... 

 e dai coni di corde (non trisecanti) aventi i vertici nei punti di C su f. Questa ri- 

 gata è segata da E' secondo una curva giacente in G' e secondo un sistema di corde 

 proprie o improprie relative ai punti P'i,P'2,... e alle coppie di essi. 



Se ora F' è in posizione generica, non incontra alcuna di queste corde, e quindi 

 l'ordine di fx' è uguale al numero delle corde proprie di C appoggiate a F e a G; 

 ma se F' viene a incontrare qualcuna di queste corde (e supporrò sempre che ciò 

 non avvenga perchè le incontri in punti di G') detto numero subisce una riduzione. 



Sia a' la corda appartenente a n' e a E' a cui si appoggia F'; A' il punto 

 F'a', e a la retta per P (in PG) corrispondente; sia inoltre 8 il numero delle in- 

 tersezioni di F' e )Li' cadenti in A', quando F' è generico per A', cioè la multiplicità 

 di A' in n'. Fra le intersezioni di F colla rigata n delle corde di C appoggiate in G, G 

 cadranno nel punto Fa. Ma il numero delle corde di C in PG è finito, per cui quando 

 F', e quindi F, è generico, pel punto Fa non passano corde proprie di C in P G. 

 Dunque la retta a stessa è corda (corda impropria relativa a P) di C, di multipli- 

 cità e C). 



Quando una corda di C in E' sarà una a'? Facilmente si vede in tre casi: 

 1° quando è corda propria in quanto congiunge due dei punti P'i,P'j,...; 2" quando 

 è corda impropria relativa ad uno di questi punti ed appartiene ad un piano prin- 

 cipale non contenuto in E'; 3" quando è corda impropria relativa ad uno di detti 

 punti, ed appartiene ad un piano principale contenuto in E', ma rispetto a un S„_, 

 generico (e basterebbe ad uno particolare) per A' in E' ha multiplicità maggiore di 

 quella di un'altra corda impropria dello stesso piano principale rispetto ad un S„_3 

 generico di E' che la incontri (se il piano principale è relativo a un ramo solo la 

 tangente al ramo è sempre una tal corda impropria). Nei primi due casi 6 è la 

 multiplicità della corda; nell'ultimo è < alla differenza fra la multiplicità della corda 

 rispetto ad un S„_3 generico di E' che la incontri e quella di una corda generica 

 dello stesso piano principale rispetto ad un S„_3 di E' che la incontri. 



Noi sappiamo che nell'ultimo caso la corda ha multiplicità maggiore della ge- 

 nerica anche rispetto ad ogni S„_3 di E' che la incontri ; d'altronde l'interpretazione 

 di a' come retta di n' ne dà una facile prova sintetica. D'altra parte la sua inter- 

 pretazione come corda di multiplicità maggiore della generica rispetto a un S„_3 

 di E' che la incontri mostra che a' appartiene pure alla rigata analoga che si ottiene 

 sostituendo a G' in altro S„_2 qualunque di E', in particolare G'i. 



(') Infatti G sega in un solo punto il piano principale cui appartiene a (piano di a e di una 

 tangente a C in PJ; quindi il complesso speciale appoggiato a G non è tangente alla varietà delle 

 corde di C; se F è generico, il complesso (oc'<"-2)) appoggiato a G e a F non è quindi nemmeno 

 tangente a questa varietà. Che ogni corda impropria appartenga ad un piano principale sarà tosto 

 ritrovato. 



