57 SULLA VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 139 



Ciò posto, si trasformi la C or ora ottenuta da C, con una trasformazione qua- 

 dratica avente P come punto fondamentale , la M?,_j fondamentale degenere costi- 

 tuita di G, e di un S„_8 G2 diverso da G (e appoggiato a G, secondo un S„_3)., e il cono 

 fondamentale non tangente a C in P. Sia G" la trasformata di C ; essa sarà trasfor- 

 mata di C' per una trasformazione birazionale per cui P',,P'2,... e i punti corri- 

 spondenti di C" non appartengono alle Jacobiane dei rispettivi spazi. 



Facilmente si vede che tale trasformazione definisce una trasformazione T dello 

 spazio di rette contenuto nello spazio di C' in quello contenuto nello spazio di C" (§ 5) 

 per cui alle corde di C corispondono quelle di C" e alle corde di C' in E' quelle di C" nel- 

 l'analogo S,._, E". La varietà delle corde di C' appoggiate a G', si trasforma nella va- 

 rietà delle corde di C" appoggiate all'omologo G'', e le rette omologhe vi hanno la stessa 

 multiplicità; la retta a" di E" (corda propria impropria di C" relativa a uno a due dei 

 trasformati di P'i, P's, • ••) appartiene quindi alla rigata delle corde di C" appoggiate a 

 G"i da cui si sono detratti i piani principali di C" in E". Essa apparterrà quindi anche 

 all'analoga rigata relativa a G''^ ; onde sull'S,,. 1 PGj giace una corda impropria di 

 C relativa a P; essa è l'intersezione di PG, coU'unico piano che corrisponde, nelle 

 due trasformazioni che mutano C in C e in C" ai piani O'a', 0"a" (0' e 0" essendo i 

 punti fondamentali degli spazi di C' e C). Si ritrova cosi sinteticamente che ogni 

 corda impropria a di C relativa al punto singolare P appartiene ad un fascio di corde 

 improprie il quale contiene almeno una tangente di C in P (poiché a' passa per almeno 

 uno dei punti P',, P's, ...). 



45. — Io mi limito a questo abbozzo della determinazione, per trasformazioni, 

 delle corde improprie di una curva e chiudo il presente § coll'osservazione seguente: 

 Si sono distinte (§ 1) le corde improprie di una curva G relative a un punto P in corde 

 improprie relative ai singoli rami e alle singole coppie di rami di C per P. La de- 

 duzione per trasformazioni si presta facilmente alla scissione delle varie specie di 

 corde improprie per via sintetica. Di fatto con un numero finito di trasformazioni 

 si trasformano i rami di C di origine P in altrettanti rami aventi le origini distinte. 

 D'altra parte si è visto or ora che ogni fascio di corde improprie di C deriva da 

 una corda propria od impropria di C ; e, se questa corda è impropria, essa e il piano 

 principale cui appartiene derivano da una corda propria impropria della curva 

 trasformata di C' analoga alla C' rispetto alla C; e così via: adunque si può dire che 

 un fascio di corde improprie relativo a P deriva da una corda impropria relativa a 

 un unico ramo trasformato di un ramo per P, la cui origine non sia origine di altri 

 rami della corrispondente trasformata di C, ovvero deriva da una corda propria con- 

 giungente le origini di due tali rami ; nel primo caso il fascio sarà relativo al ramo 

 di cui il suddetto è trasformato, nel secondo sarà relativo alla coppia di rami di 

 cui la sunnominata è trasformata. Facilmente si vede che questa distinzione coin- 

 cide con quella del § 1 se si ricorre a trasformazioni quadratiche a MLz scomposta in 

 due S„_2 incontrantisi, per la prima, sul piano del fascio (senza contenerne una retta), 

 e per le successive, aventi in comune rS„_, trasformato del primo e si osserva: 

 1° che ad ogni trasformazione quadratica corrisponde una trasformazione quadra- 

 tica dell'iperstella di centro rS„_3 comune ai due S„.2 fondamentali; 2° che basta 

 effettuare le trasformazioni finche 1' ultima corda ottenuta da cui il fascio deriva 



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