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sia propria oppure tangente ad uno dei rami a cui essa è relativa, poiché la tan- 

 gente a un ramo è sempre corda impropria relativa al ramo e a tutte le coppie co- 

 stituite da esso e dai rami di ugual origine; e se infine si ricorda come si possa 

 fare sinteticamente la scomposizione dell'abbassamento prodotto da una singolarità 

 di una curva piana sulla sua classe in parti relative ai singoli rami e alle singole 

 coppie di rami (Noether, Les comhinaisons caractéristiques dans la transforrnatìon d'un 

 point singuUer. " Rend. Circ. Mat. Palermo „, t. IV, 1890, p. 89-108). 



Quando P si è trasformato in un gruppo di punti semplici, si può dire che i fasci 

 di corde improprie relativi ai singoli rami per P derivano tutti dalle tangenti ai 

 rami trasformati (nelle loro origini) e quelli relativi alle coppie di rami dalle corde 

 congiungenti le coppie di punti del gruppo. 



§ 9. _ Generazione delle corde improprie per mezzo della proiezione. 



46. — Dirò poche parole intorno alla generazione delle corde improprie per 

 mezzo della proiezione. 



Quando si proietta da un punto O di 8„+i una curva C dello stesso spazio in 

 una curva C di un S„, la varietà delle corde di C si proietta (se w>3, il che noi 

 supponiamo verificato) nella varietà delle corde di C, corrispondendosi biunivoca- 

 mente (in generale) le rette delle due varietà. In particolare, se O non si trova su 

 una corda di C, ogni corda impropria di C corrisponde a una corda impropria di C 

 Ma si supponga O sopra una corda }) (propria o impropria o tangente) di C e si 

 consideri il cono tangente T in O alla varietà M3 (luogo di punti) di S„+i costituita 

 dalle corde di C. Sia P l'intersezione di i> coirS„ (e sarà punto di C), T l'intersezione 

 di T coU'S,,; ogni punto di T apparterrà alla proiezione della varietà delle corde 

 di (7 da O; apparterrà cioè alla varietà delle corde di C: ogni retta appoggiata 

 a T e passante per P sarà corda impropria di C. Di qui segue in primo luogo che T 

 è costituita di rette per P (cfr. § 1); ma di più si otterrà ricorrendo alle proprietà 

 della Ma delle corde di C. Si osservi di fatto che il cono tangente a questa M3 in 

 un suo punto qualunque è sempre costituito di S,( (^). Ciascuno di questi S3 è tan- 



(') // cono tangente ad una Mr di M„ {r < ») rigata in un suo 2}>'nto qualunque è seinjn-e costi- 

 tuito di Sr. Per provare questo teorema basta farlo pel caso che r^n — 1; di fatto con una pro- 

 iezione possiamo sempre ridurci a questo caso. Orbene, si consideri dapprima una rigata L nello 

 spazio ordinario; essa si rappresenta nella corrispondente ® in una curva l; ad una generatrice « 

 di L corrisponde un punto 51 di l. Sia t la tangente a un determinato ramo di l in ?(. Le tangenti 

 a L in punti di a e alla falda corrispondente a questo ramo sono assi di complessi speciali rappre- 

 sentati in P da S» tangenti a ® e passanti per t. Se 1 non è contenuta in ® il luogo dei punti di 

 contatto di questi St e un cono quadrico di vertice % Così l'imagine in ® del sistema delle tangenti 

 a L in punti di a e alla detta falda è un cono quadrico di vertice ?l. Questo cono è segato in una 

 e una sola generatrice da ogni piano imagine di un punto di a ; onde risulta l'asserto. Se t è con- 

 tenuta in ® il suddetto cono quadrico si spezza nei due piani di ® per t. Quello imagine di un piano, 

 toltane la t, è l'imagine dell'insieme delle tangenti di L nei punti di a diversi da quello di cui 

 fe imagine l'altro piano di ® per t (a è generatrice di sviluppabile); le tangenti a L in questo punto 

 sono poi rappresentate da una retta di questo secondo piano, per W, intersezione del piano stesso 



