59 SULLA VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 141 



gente ad una o più falde di M3 e può corrispondentemente dirsi relativo ai rami e 

 alle coppie di rami di C corrispondenti a queste; e dovrà passare pei piani deter- 

 minati da i> e dalle tangenti a C, ovvero osculatori a C nelle origini di tali rami 

 (piani tangenti o osculatori a seconda che p non è è tangente in quei punti a C). 

 Infatti tali piani sono tangenti in O ai coni di corde di C aventi quei punti d'in- 

 tersezione di contatto come vertici. La varietà T delle corde improprie di C rela- 

 tive a P generate dalla proiezione è adunque un insieme di fasci di centro P, rela- 

 tivo ciascuno a uno o piti rami coppie di rami di C per P, ed a cui appartengono 

 le tangenti a questi rami. 



Su ogni S3 tangente a M3 in O potranno poi esistere Sj e Si per O aventi 

 in O colla M3 contatto maggiore di quello generico (osculatori alla M3); quindi la 

 possibilità delle corde improprie speciali e dei punti speciali in T; e si noti che i 

 detti Sj e Si esistono certamente se w-|-l=4; quindi per le curve di S3 la non esi- 

 stenza degli elementi speciali deve interpretarsi nel venir essi a coincidere colle tan- 

 genti in P a C e col punto P. 



47. — Una curva di uno spazio qualunque può sempre considerarsi come pro- 

 iezione di una curva d'uno spazio superiore priva di punti multipli da un conve- 

 niente spazio ('): questa proiezione può sempre effettuarsi per mezzo di una suc- 

 cessione di proiezioni da un punto. Le considerazioni del n" precedente mostrano 

 quindi come, nelle successive proiezioni, si generino i piani principali, le corde im- 

 proprie speciali, i punti speciali. 



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§ 10. — Considerazioni sui fatti duali. 



48. — Le cose trovate per la curva luogo di punti si trasportano evidentemente 

 sulla curva inviluppo delle sue tangenti, dei suoi piani osculatori, ecc. Poco voglio 

 io dire a questo riguardo, e mi limiterò, per semplicità, alle curve dello spazio 

 ordinario. 



con r S4 polare rispetto a @ di un punto dell' S, osculatore alo dell' S3 superosculatore a t (se 

 detto Sj coincide coli' 83 — punto suddetto) in ^. 



Ancora ogni S-j — punto per W sega la varietà imagine delle tangenti a L in punti di a secondo 

 una retta per ?l. 



Il teorema si trasporta per proiezione alle rigate di Sn ; anzi poiché, se si considera la ® ima- . 

 gine deirSn rigato, la proiezione dell'S,, su un S3 si interpreta in una proiezione della ® uell'ima- 

 gine deirSs rigato (n" 24), l'imagine sulla ® dell'insieme delle tangenti a una rigata di Sn lungo 

 una sua generatrice qualunque è un insieme (finito) di coni quadrici di vertice l'imagine di questa e 

 di S2 — piani (diminuiti ciascuno di una sua retta e a cui va aggiunta un'altra retta). Si applichi 

 questo alle rigate intersezioni di una Mn-i i-igata di S» e dei complessi lineari di dimensione « + 1 

 passanti per una generatrice di questa; si otterrà che l'imagine dell'insieme delle tangenti alla M„-i 

 lungo una sua generatrice è costituita da M'n_i — coni (proiezioni di coniche da Sn-s) e da coni 

 costituiti ciascuno di un Sn-i (fattavi astrazione da uno Sn-j) e di un Sn-j. Ogni Sn_i imagine di 

 un punto della generatrice considerata sega ciascuna di queste varietà secondo un 8,1-2 imagine di 

 una 00"-' — stella di centro quel punto. È quindi dimostrato l'asserto. 



11 teorema è d'altronde intuitivo se si considerano le tangenti come congiungenti due punti 

 infinitamente prossimi: in particolare un fascio di tangenti in un punto come il fascio delle rette 

 che da questo punto proiettano una generatrice infinitamente prossima. 



(') Cfr. per le citazioni relative Segbe, Sulla scomposizione dei punti singolari delle superficie alge- 

 briche, ' Annali di Matematica ,, (2), 25, 1896, p. 43-45. 



