84 BEPPO LEVI 2 



IV. Ricerche sintetiche. 



§ 6. Multiplicità delle corde improprie. Varietà tangenti alla Mj delle corde 

 in una corda impropria. 



§ 7. Risoluzione dei punti singolari di una curva algebrica. Un'applicazione 

 della nozione di corde improprie. 



§ 8. Generazione delle corde improprie per mezzo delle trasformazioni qua- 

 dratiche. 



§ 9. Generazione delle corde improprie per mezzo della proiezione. 



§ 10. Considerazioni sui fatti duali. 



Nel paragrafo 1 delineo la questione di cui intendo occuparmi, ed introduco il 

 concetto di corde improprie. Nel capitolo seguente (§§ 2 e 3) studio analiticamente 

 le corde improprie, dal punto di vista della geometria dello spazio punteggiato ; non 

 ho considerato dapprima il caso di due rami a tangenti distinte e della tangente 

 ai rami considerata come corda impropria, i quali conducono a formolo analitiche 

 leggermente diverse dal caso generale : per questi casi io mi sono limitato a fare un 

 cenno alla fine del § 2, ritenendone la trattazione distesa meno interessante dopo 

 quanto precede. Alla fine di ogni paragrafo (2 e 3) ho raccolte le principali propo- 

 sizioni ottenute nel paragrafo stesso. 



Quanto al capitolo seguente noto che il § 5 forma un tutto a sé; vi è esposta 

 una trasformazione dello spazio di rette che mi è utile un istante nel § seguente, 

 ma che non parmi priva d'interesse per se e per altre ricerche a cui possa venire 

 d'aiuto. 



Passo in seguito alle ricerche sintetiche: il § 6 è ancora intimamente legato col 

 secondo capitolo: vi si ricerca il significato delle corde improprie nel senso della 

 geometria della retta ed in particolare quello delle corde improprie speciali e dei 

 punti speciali. 



Il § 7 chiede ai precedenti poco piìi che la nozione di corde improprie e ne 

 mostra una notevole applicazione; vi è contenuta una dimostrazione della risolvi- 

 bilità dei punti singolari di una curva algebrica per trasformazioni quadratiche, 

 la quale dà luogo ad una formola che è l'estensione alle curve con singolarità 

 superiori di quella del rango (per le curve gobbe — 1° rango per le curve iperspa- 

 ziali). In questa formola, applicata alle curve aderenti alla data (curva delle sue 

 tangenti, dei suoi piani osculatori, ecc.) si può ritenere contenuta l'estensione aUe 

 curve con singolarità superiori delle formolo note del Cayley e del Veronese. Rimar- 

 rebbero a studiarsi le relazioni che possono passare fra i numeri analoghi agli s e i 

 che cosi s'incontrano. 



Nei §§ seguenti (8 e 9) è tracciata una ricerca sintetica delle corde improprie: 

 non è però affatto approfondita, sia perchè il metodo è assai meno potente di quello 

 analitico, sia perchè, se poteva importare l'interpretazione geometrica dei fatti tro- 

 vati, passava in seconda linea la loro completa ricerca con questo metodo. Noterò 

 che quasi intero l'ultimo capitolo (in particolare i §§ 8 e 9) potrebbe anteporsi al 

 capitolo secondo. 



Chiudo notando che le presenti ricerche potrebbero estendersi alle varietà alge- 

 briche di maggior dimensione contenute in uno spazio di dimensione maggiore almeno 



