3 SULLA VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 85 



di due unità. Nella presenza delle corde improprie si troverebbe anche allora la ragione 

 del fatto che i caratteri di composizione di un punto singolare di una tal varietà 

 (ottenuti assoggettando il punto ad una successione di trasformazioni quadratiche) (') 

 sono generalmente minori dei caratteri di composizione della proiezione del punto 

 singolare in uno spazio di dimensione maggiore di una sola unità di quella della 

 varietà algebrica su cui il punto si considera. 



I. Introduzione. 

 § 1. — Considerazioni generali. 



1. — Chiamo una retta corda di una curva quando appartiene alla minima 

 varietà algebrica doppiamente infinita contenente tutte le rette che congiungono le coppie 

 di punti della curva. 



È utile immaginare le rette dello spazio I, ad n dimensioni, che si considera, 



rappresentate per mezzo delle coordinate del Grassmann. Ne risulta, com'è noto, una 



rappresentazione biunivoca di esse rette sui punti di una Mj|„_,) di un S/„+i-, ("), 



l 2 J~' 



senza elementi eccezionali. Si potrà pure immaginare rappresentato lo spazio Z rigato 

 coi punti di un S2(„_i) e si avranno allora elementi eccezionali, per cui la corrispon- 

 denza è oo-vocaf). Basta perciò osservare che quella M2|„_i) è razionale; d'altronde 

 si potranno assumere come coordinate non omogenee dei punti deirSo(„_i) corrispon- 

 dente ad una data retta, p. es., le due {n — l)-ple di coordinate non omogenee dei 

 punti di questa retta su due S„_i fissi di Z. Indicherò con P lo spazio di una qua- 

 lunque di queste rappresentazioni che, ove ciò sia necessario, distinguerò come prima 

 e seconda rispettivamente. Indicherò poi con @ la Mj(„_i| della prima rappresentazione. 



Una curva algebrica C di E sarà rappresentata in P, come insieme delle sue 

 secanti, da una M„ algebrica; e la varietà delle sue corde da una Mg luogo dei punti 

 multipli di questa M„ o parte di questo luogo. Quindi ogni corda di C (secondo la 

 precedente definizione) incontra la C stessa. 



Come multiplicità di una retta fra le corde di C appartenenti ad un'altra varietà 

 algebrica di rette s'intenderà la multiplicità del punto corrispondente nell'interse- 

 zione delle varietà di punti di P che rappresentano le due varietà di rette, colla 



(') Relativamente alla definizione di questi caratteri e per citazioni suirargomento, cfr. Segre: 

 Sulla scomposiziotte dei punti singolari delle superficie algebriche, " Annali di Matematica ,, (2), 2-5. o 

 i miei lavori : Sulla riduzione delle singolarità puntuali delle superficie algebriche dello spazio ordinario 

 per trasformazioni quadratiche, Mem. prima, ' Annali di Mat. ,, (2), 26; Risoluzione delle singolarità 

 puntuali delle superficie algebriche, " Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino ,, 33, 1898. 



(') Nei primi paragrafi non ci sarà necessario di conoscere più profondamente questa rappre- 

 sentazione. Qualcosa di più ci occorrerà nel seguito; nel §4 darò appunto quelle proposizioni che 

 ci saranno necessarie nei paragrafi seguenti. Riservo per allora le notizie bibliografiche. 



(•'J Sono note per lo spazio ordinario parecchie di queste rappresentazioni che non è necessario 

 qui ricordare. Si vegga una recente memoria del sig. Kantor {Th. d. linearen Strahlencompler ini 

 Raume von r Dimensionen, ' Journal f. reine u. angew. Math. u. Ph. ,, 118), ove si trovano parecchie 

 di queste rappresentazioni per le rette di S,. e sono ricordate quelle per le rette di S3. 



