SULLA VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 



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sulla varietà delle corde di C, cosicché il suddetto luogo di posizioni limiti appar- 

 tiene a questa varietà. Non potrebbe quindi, essondo esso una varietà algebrica, 

 costituire una M2 di rette poiché una M2 è l'intera varietà delle corde. In ogni modo 

 ciascuna retta di questo luogo è corda di C senza congiungere, in generale, due suoi 

 punti distinti : è una corda impropria. Dirò che essa è corda impropria di C relativa 

 al punto P. 



Se s > 1 su ogni S„_i per P debbono trovarsi corde improprie relative a P (cfr. 

 il principio del pres. n°); adunque le corde improprie relative ad un punto multiplo 

 di C costituiscono una semplice infinità algebrica di rette (come luogo di punti, un cono 

 algebrico). Per un punto semplice passa una sola corda impropria: la tangente. 



Ad un S„_3 generico di I si appoggia un numero finito e determinato di 

 corde di C. Se da questo S„_3 si proietta C sopra un piano che non lo incontri si 

 ottiene una curva e la quale possiede come punti multipli le proiezioni dei , punti 

 multipli di C e le proiezioni delle coppie di punti di C che stanno sulle corde 

 appoggiate airS„_3 (punti doppi, che si aggruppano formando punti di maggior multi- 

 plicità quando rS„_3 e più di una delle suddette corde stanno in uno stesso S„_!). 

 Si supponga che l'S„_3 considerato incontri la corda AiAj precedentemente no- 

 minata, e mentre A, e A2 si muovono tendendo a P su differenti rami parziali, 

 e tendendo la AiAj ad una corda impropria di C per P, rS„_3 si muova man- 

 tenendosi incidente alla A1A2, e del resto generico. La curva e si deformerà, tendendo 

 il punto doppio proiezione di A, e Aj al punto proiezione di P. Ma durante la defor- 

 mazione l'ordine e il genere di e non s'alterano, conservandosi uguali a quelli di C; 

 e non s'alterano, in generale, come facilmente si verifica, gli abbassamenti del genere 

 relativi ai punti di e proiezioni dei punti multipli di C; quindi, alla fine del movi- 

 mento, essendo diminuito il numero dei punti doppi di e corrispondenti alle corde di C 

 appoggiate airS„_3, l'abbassamento del genere relativo alla proiezione di P dovrà 

 essersi accresciuto di un numero uguale al numero delle corde quale A,A2 che, per 

 il movimento dell' S„_3, sono venute a coincidere colla corda impropria per P ap- 

 poggiata alla posizione finale deirS„_3. 



Il ragionamento è invertibile ; onde le corde improprie di C che la incontrano una 

 sola volta sono tutte e sole le rette che passano per un sol punto di C e sono tali che, 

 se si proietta C da un S„_3 appoggiato ad una di esse, l'abbassamento del genere relativo 

 alla proiezione del punto di C per cui essa passa è maggiore di quello relativo al punto 

 analogo nella proiezione da un S„_3 generico e la differenza fra i due abbassamenti è 

 uguale alla muUipUcità della corda impropria considerata fra le corde di C appoggiate 

 all'S.,-z (non necessariamente la multiplicità della corda impropria). 



In generale una corda impropria contiene un solo punto di C ; possono però esi- 

 stere corde improprie (posizioni limiti di corde proprie, quando i due punti di C che 

 determinano la corda tendono allo stesso punto) relative a un punto P di C e che 

 passano pure per altri punti di C. Basti osservare che, se w==3, il cono algebrico 

 luogo delle corde improprie di G relative a P sega in generale C fuori di P; le 

 generatrici per questi ultimi punti d' intersezione contengono oltre a P almeno un 

 secondo punto di C. La retta .si dovrà allora considerare come una corda propria e 

 una corda impropria sovrapposte. Quanto avanti si è detto relativamente alla pro- 

 iezione di C da un S„_3 che incontri la corda impropria deve, in questo caso, esser 



