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leggermente modificato; ma basti osservare che tal retta è definita come corda im- 

 propria dal fatto che appartiene ad una semplice infinità algebrica di corde impro- 

 prie: non tutte le rette di una tale semplice infinità possono contenere due punti 

 di C, come senz'altro apparirà dal seguito. 



3. — Inizierò lo studio delle corde improprie relative a un punto di C ricor- 

 rendo alla rappresentazione analitica dei rami di C mediante sviluppi in serie, riser- 

 vando, come dissi, al seguito le considerazioni sintetiche. 



Si vedrà in primo luogo che il cono luogo delle corde improprie relative al 

 punto P è un sistema di piani (considerati come generati ciascuno da un fascio di 

 centro P) passanti ciascuno per una o più tangenti di C in P. Questo non ha bisogno 

 di dimostrazione nel caso del punto s-plo ordinario (cfr. n" preced.) poiché i piani 

 determinati dalle coppie di tangenti sono i luoghi dei punti tali che da ogni S„_3 per 

 uno di essi due rami di C per P sono proiettati in due rami di e aventi la stessa 

 tangente. II caso più semplice dopo questo è quello del punto s-plo per cui passano 

 s rami lineari di cui alcuni hanno la stessa tangente. Questo caso fu incontrato, in 

 lavori indirizzati ad altro oggetto dall' Halphen (') per le curve gobbe, e dal pro- 

 fessor Berzolaei per le curve iperspaziali: ad ogni coppia di rami aventi la 

 stessa tangente corrisponde un piano per questa, tale che da ogni S„_3 che lo incontri 

 i due rami sono proiettati in due rami di curva piana aventi un contatto superiore 

 a quello dei due rami primitivi: tale piano fu chiamato dagli autori citati piano 

 principale dei due rami. I piani principali relativi a tutte le coppie di rami aventi 

 la stessa tangente e i piani determinati dalle tangenti delle coppie di rami aventi 

 tangenti diverse costituiscono il cono delle corde improprie relative al punto con- 

 siderato. 



Per analogia conserverò il nome di piani principali ai piani di cui è sempre 

 costituito il cono delle corde improprie. 



4. _ Nella ricerca analitica che segue mi varrò della definizione delle corde 

 improprie per mezzo della proiezione della C da un S„_3 (n° 2). 



Si sa che il doppio dell'abbassamento del genere di una curva piana prodotto 

 da un suo punto singolare aumentato della somma degli ordini dei rami passanti 

 pel punto e diminuito del numero dei rami stessi dà l'abbassamento della classe 

 dovuta al punto stesso. E questo abbassamento è uguale alla somma degli ordini 

 infinitesimali delle distanze (misurate secondo una direzione non prossima a quelle 

 delle tangenti alla curva nel punto considerato) fra le coppie di rami parziali pas- 

 santi pel punto, ordini infinitesimali riferiti alla distanza dei punti dei rami dall'ori- 

 gine di questi come infinitesimo principale ('). Segue immediatamente che questo 



(') Sur les invariants différentiels des courbes gauches, p. 25-27. ' Journal de l'École Polytechnique „ 

 t. 28, cab. 47, p. 1. 



(') Sugli invarianti differenziali proiettivi delle cune di un iperspazio, p. 18. " Annali di Mate- 

 matica „ (2), 26, 1897, p. 1. 



(') Cfr. anche per alcune cose del seguito: Halphen, Sur les points singuliers des courbes planes, 

 ' Mém. des Sav. étr. ,, 1877 e Smith, On the higher singularities of piane curves, ' Math. Papers ,, 

 voi. II, p. 101. 



