7 SULLA VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 89 



abbassamento si può scindere in più parti corrispondenti le une ciascuna a un ramo 

 della curva pel punto considerato, le altre ciascuna ad una coppia di questi rami 

 riguardo alle mutue relazioni dei due rami. Si noti ora che se da un S„_s qualunque 

 che non incontri infinite corde di C si proietta la C in una curva piana e e se p è 

 la proiezione di P, passano per p tanti rami di e quanti rami di C passano per P, 

 corrispondendosi biunivocamente i rami delle due curve. Se adunque per una parti- 

 colar posizione deirS„_3 da cui si proietta C cresce l'abbassamento della classe di e 

 dovuto a p, risulta interamente definito uno spezzamento di questo aumento in parti 

 (di cui taluna può esser nulla) corrispondenti ai diversi rami di C per P e alle coppie 

 di essi rami, assumendo come tali parti gli incrementi delle corrispondenti parti 

 dell'abbassamento totale. Questi incrementi non possono mai essere negativi. 



L'S„_3 da cui si proietta la C incontri una ed una sola corda impropria di G 

 relativa a P : l'abbassamento della classe di e dovuto a p sarà maggiore per 'questa 

 posizione deirS„_3 che per una generica e, supposto per semplicità che rS„_2 che da 

 esso proietta P non contenga altri punti di C, l'incremento sarà uguale alla multi- 

 plicità della corda fra le cordo di C appoggiate airS„_3 se la corda stessa non è 

 tangente a C in P, e sarà in caso contrario uguale a detta multiplicità aumentata 

 della somma dei primi ranghi dei rami di C a cui è tangente. In ogni caso, corri- 

 spondentemente allo spezzarsi dell'incremento dell'abbassamento della classe di cui 

 sopra, si potrà spezzare in altrettante parti la multiplicità della corda assumendo 

 come tali le parti stesse di quell'incremento diminuite, quelle che corrispondono a 

 un solo ramo a cui la corda sia tangente, del primo rango del l'amo stesso. Si potrà 

 allora dire che la corda stessa è la riunione di tante corde sovrapposte quante sono 

 le suddette parti non nulle, relative talune a un solo ramo di C per P, talune ad ima 

 coppia di tali rami. 



L'analisi delle corde improprie di una curva si spezza così nell'analisi delle corde 

 improprie relative ad un ramo, ed in quella delle corde improprie relative ad una 

 coppia di rami. 



La stessa distinzione fra le corde improprie si ottiene anche se si osserva che 

 una corda impropria può essere limite di una corda propria che incontri due rami 

 parziali appartenenti allo stesso ramo ovvero a rami diversi. 



5. — Nel seguito accadrà più volte di dover parlare dell'abbassamento della 

 classe della proiezione di una curva da un S„_3 generico dovuto ad un dato ramo o 

 ad una data coppia di rami (abbassamento del primo rango della curva di Z dovuto 

 al ramo od alla coppia di rami): dirò per brevità equivalente del ramo o della coppia 

 di rami quest'intero abbassamento nel caso di un ramo solo, e la metà di esso nel 

 caso della coppia. 



È facile calcolare l'equivalente di un ramo o di una coppia di rami quando 

 questi siano dati mediante le coordinate correnti di un loro punto. Sia infatti R un 

 ramo della curva C di Z, di origine P; sia r una sua proiezione piana generica: 

 p l'origine di questa. Si seghi /• con una retta m infinitamente prossima a p, ma non 

 alla tangente a r; secondo quanto si è ricordato nel n" prec. l'abbassamento della 

 classe dovuto ad r è uguale alla somma dei minimi ordini infinitesimali delle diffe- 

 Sekie II. Tom. XLVIII. l 



