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renze delle coordinate omonime delle coppie di punti d'intersezione della m con r 

 rispetto alla distanza della retta m da p come infinitesimo principale. 



Notiamo ora che, rS„_i all' co di Z non passando per P, un suo S„_3 generico 

 non incontra corde improprie relative ad R: per /• può adunque assumersi la pro- 

 iezione di R da un S„_3 generico all' od; le coordinate dei punti di r sono allora 

 combinazioni lineari generiche delle coordinate dei punti di R di cui sono proiezione; 

 il minimo ordine infinitesimale delle differenze fra le coordinate omologhe di due punti 

 determinati di r è quindi uguale al minimo ordine infinitesimale delle differenze fra le 

 coordinate omologhe dei punti corrispondenti di R. 



Nel caso presente, i due punti di r essendo una qualunque coppia di punti di 

 intersezione di m con r, i punti di R sono la corrispondente coppia di punti d'in- 

 tersezione di R coirS„_i che proietta m dairS„_3 centro di proiezione. 



Analoghe osservazioni per il caso di due rami R e R'. 



Di qui: l'equivalente di un ramo (o di una coppia di rami) h ur/uale alla somma 

 dei minimi ordini infinitesimali delle differenze delle coordinate omologhe delle coppie di 

 punti d'intersezione del ramo (dell'uno e dell'altro ramo) con un S„_i prossimo all'ori- 

 gine del ramo (all'origine comune dei due rami) e non prossimo alla sua tangente (alia 

 loro tangente, se hanno la tangente comune — alle dite tangenti, se sono distinte); detti 

 ordini infinitesimali sono riferiti alla distanza dell' S„^i secante dall'origine, come infini- 

 tesimo principale. 



Come S„_i secante si può assumere un .S„_, parallelo ad un S„_i coordinato non 

 passante per le tangenti ai rami. La differenza delle corrispondenti coordinate è nulla. 



6. — Sia R un ramo della curva C di Z di origine P: da un punto di una 

 corda impropria relativa ad R si proietti la curva su un S„_i s TT generico ; sia Ri 

 la proiezione di R. La proiezione di R da un S,;_3 per si può effettuare proiet- 

 tando dapprima R da in R,, poi Ri dairS„_4 intersezione di TT coirS„_3. Recipro- 

 camente la proiezione di Ri da un S„_4 qualunque di TT coincide colla proiezione di 

 R dairS„_3 determinato da questo S„_,, e da 0. L'abbassamento della classe della 

 proiezione di C da un S„_3 per dovuta al ramo proiezione di R è adunque uguale 

 all'equivalente di Ri. 



Analogo ragionamento si può fare se invece di una corda relativa a un solo 

 ramo si considera una corda relativa ad una coppia di rami. Adunque: 



Condizione necessaria e sufficiente perchè una retta sia corda impropria relativa ad 

 un ramo o ad una coppia di rami è che il ramo o la coppia di rami proiezioni di 

 questi da un punto qualunque della retta abbia equivalente maggiore del ramo o della 

 coppia primitivi; e la multiplicità della corda fra quelle (della curva cui i rami appar- 

 tengono) appoggiate ad un S„_3 generico pel centro di proiezione (relativa al dato ramo 

 alla data coppia di rami) è uguale alla differenza fra gli equivalenti del ramo o della 

 coppia primitivi e dei nuovi purché, nel caso di un ramo solo, la corda non sia tan- 

 gente al ramo ; allora quella multiplicità e uguale a questa differenza diminuita del 

 primo rango del ramo. In ogni caso dirò questa multiplicità: mtdtiplicità della corda 

 rispetto al punto da cui si fa la proiezione. 



Mi occuperò in primo luogo delle corde improprie relative ad un ramo solo. 



