SULLA VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 91 



II. Ricerche analitiche. 



§ 2. — Carde improprie relative a un ramo solo e loro niultiplicità 



rispetto ai Im'O punti. 



7. — Indico con r, , .r, , . . . , it;„_i le coordinate non omogenee in I. 



Abbia il ramo R l'origine nell'origine delle coordinate ; sia x^ = un S„_i gene- 

 rico rispetto a B, per l'origine : iCi = un S„_i per la tangente, a;? = un S„_i per il 

 piano osculatore ; ... ; a;„_i = rS„_, osculatore al ramo. Sia il ramo R rappresentato da: 



,, = l„i'"+ 1,^(')' + . . . + 1,, «"". + 2,of<-'+ 2„i<-'''+ . . . + 2af'^ + . . . - 

 ; X, = 2oi'^'4- 2,^'^'' + . . . + 2uf''^ + -iJ'' + ...+ 3,,i<^'^+ . . . 



1 x„_. = ,»-loi'"-')+«-l.<'"-". +••• 



ove il primo coefficiente d'ogni sviluppo non può mai esser nullo. Supporrò che 

 ^c, = 0, Xj = 0, . . . , ,c„_i = siano scelti in modo assolutamente generale, soddisfa- 

 cendo alle condizioni precedentemente imposte, per modo che, se si muta rS„_i 

 X, = (1 < « ■=- w — 1) neirS„_i \x, + \.+i x.+i + . . • + K-iXn-i = che soddisfa alle 

 stesse condizioni precedenti per Xi = Q, la nuova coordinata che si sostituisce ad x, non 

 possa svilupparsi in una serie di t che contenga termini che mancavano in x. ; sup- 

 porrò adunque che in x, compaiano, con coefficiente non nullo, tutti i termini di grado 

 uguale a quelli che compaiono in x,^i , x,+t , . . . , a;„_i ; sotto altra forma , se fra i ter- 

 mini scritti ve ne ha uno in x, con coefficiente nullo, avrà pure coefficiente nullo il ter- 

 mine di ugual grado in tutte le a;i+r(r = 1, . . . , n — i — 1). 



8. — Sia xl, x1, . .., .r?,_i il punto di Z da cui si proietta R per riconoscere se 

 appartiene o -no ad una corda impropria relativa ad R ; lo si può sempre supporre 

 al finito e fuori di i(o = 0- Proiettiamo il ramo suirS„_ia;o^=0. Le coordinate cor- 

 renti del ramo proiezione saranno 



ovvero, ponendo — ^.^ a,, 



X,= '^''^'''-^;^' ii=l,...,n-l) 





ossia 



X.=<-a.r + .r.ì il + i + 4r+-. 



