1 1 SULLA VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 93 



Si indichi con 9 una qualunque radice v-esima dell'unità positiva diversa da 1. Sarà 



f 1 = e < + e 



ove e è infinitesimo d'ordine superiore a t: anzi se si osserva che X'o(e<) — X'of<) 

 e X',(e<) — X'i(<) sono, in generale, dello stesso ordine infinitesimale, si vede che 

 non tì necessario, pel calcolo dei suddetti ordini infinitesimali generali, calcolare € : il 

 calcolo di e sarà necessario in seguito e si troverà ciò confermato. 



Indicherò con (j)it,. (/= 1, . . . , m — 1) gli esponenti caratteristici (Halphen, 1. e.) 

 degli sviluppi di x,{i = 1, . . . , « — 1). (Per le ipotesi fatte basta considerare lo svi- 

 luppo di .r,). Sia, per la G considerata: 



e">^.^...=e''V. = i, e'"'' = e'-^ ^= 1 C). 



Il termine principale di X',{ti) — X\{t]ii=^l, . . . ,n — 2) sarà, in generale, 

 (e*"'^-l)(p,s,,-s.4.i«)<'"'' se i<s 



Per i > s il termine principale è d'ordine superiore a (s)»,. 



Se s = n — 1 non può essere t > s. 



Non sarebbero questi i termini principali cercati solo quando i loro coefficienti 

 fossero nulli ; questo non è per una posizione generica del punto (xj . . . .t?,_i). 



Fissato un ramo parziale di R, e detto t un valore qualunque della t nel campo 

 corrispondente a questo ramo parziale, ogni altro ramo parziale di Ri è determinato 

 dal fatto che si deduce dal primo sostituendo a t, nell'espressione dei punti di questo, 

 una delle funzioni 9^ + e. Si definisce così una corrispondenza fra i rami parziali e 

 le radici v-me dell'unità, rispetto ad un ramo parziale arbitrario assunto come cor- 

 rispondente alla radice 1. Da quanto precede si ha che l'influenza, sull'equivalente 

 di Ri, di due rami parziali di cui l'uno corrisponda alla radice 9 rispetto all'altro, 

 è i£l^, poiché— è l'ordine infinitesimale di t rispetto a X'o. Si indichi con Q^ l'in- 

 fluenza sull'equivalente di Ri di tutte le coppie di rami parziali di cui l'uno corri- 

 sponde alla radice 9 rispetto all'altro: l'equivalente di Ri sarà 



poiché ogni coppia viene a contarsi due volte, corrispondentemente alle radici 9 e 6" ; 

 è, per la 9 superiormente considerata, in generale, 



«6 = {s}h ■ 



(') Per comodità di scrittura indicherò con k il segno kr. 



