17 SULLA VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CCRVA ALGEBRICA 99 



se P, =t= ; ed è 



1 /•J"« 1^ (' + l''»«i« (» + l)-v (»\-H.'+i) 



se p, = 0. Il coefficiente di questo termine non è mai nullo (per xl qualunque). Quindi, 

 quando il centro di proiezione è in posizione generica sulla corda impropria speciale 



Q9<(s)«+(1) se Pi =4=0, 



e 



s {s)« + (2) se p, = 0. 



Potrà esistere sulla corda un punto rispetto a cui essa abbia maggior multipli- 

 cità che rispetto a un suo punto generico solo (e non sempre) quando Q( = (s)k + (1) 

 od (s)k+(2) rispettivamente, e quando un tal punto esista ne esiste uno solo (per 

 un dato 6) poiché nel termine principale generico di X\ (<i) — X'i (t) la xl compare 

 linearmente. I termini principali generici di X', (<,) — X'. (<) (i>l) dovranno essere 

 d'ordine superiore a (s)„+(l) o a (ò-)k + (2) rispettivamente; e questa condizione è 

 sufficiente, insieme colla precedente, perchè esista detto punto. 



Chiamerò ogni punto quale quello di cui si è provata ora la possibilità punto 

 speciale della corda impropria speciale od anche del piano principale. 



13. — Raccogliendo i risultati della discussione dei n" 7-12 : 



Belativamente ad un solo ramo d'ordine v e ad una sola radice v-esima dell'unità 

 (=1=1) esiste ano e un solo piano principale del ramo sostegno di un fascio (avente il 

 centro nell'origine del ramo) di corde improprie (relative al ramo e alla fissata radice v-ma 

 dell'unità). Ogni piano principale relativo a un ramo passa per la tangente al ramo. 

 Un piano principale relativo ad una data radice \-ma dell'unità può poi contenere una 

 ed una sola corda impropria speciale relativa al ramo e alla detta radice 

 (diversa dalla tangente), che ha, rispetto a un suo punto generico, multiplicità maggiore 

 di quella di una corda impropria generica appartenente al piano principale, rispetto a 

 un suo punto qualunque. Su una corda impropria speciale può infine esistere uno e un 

 sol punto speciale della corda rispetto al quale la corda ha multiplicità maggiore 

 che rispetto a un punto generico della corda stessa. Non esistono punti che abbiano pro- 

 prietà analoghe rispetto ad altre corde improprie del piano considerato. 



Essendo v-1 le radici che si debbono considerare esistono sempre v-1 piani prin- 

 iipdli relativi al ramo. 



Questi piani però possono coincidere tutti od in parte e la coincidenza può avve- 

 nire in due modi : 



1" A tutte le radici v-esime dell'unità che corrispondono ad uno stesso esponente 

 caratteristico dello sviluppo della combinazione lineare generica delle coordinate del ramo in 

 serie di una di queste (il piano coordinato corrispondente alla quale non è parallelo 

 alla tangente al ramo) corrispondono piani principali coincidenti in uno stesso che si 

 potrà dire corrispondente a quell'esponente caratteristico. 



2° Piani principali corrispondenti a esponenti caratteristici differenti possono 

 coincidere per i particolari valori dei coefficienti dei termini degli sviluppi aventi quegli 

 esponenti. 



