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Il primo modo è, in certa forma, essenziale, essendo strettamente legato al nu- 

 mero V, non il secondo. Per vero, come caso particolare del primo si ha che coinci- 

 deranno tutti i piani principali corrispondenti a radici v-me dell'unità che sono radici 

 primitive dell'unità, di ugual indice. Si potrà perciò dire che tutti i piani principali 

 corrispondenti a tali radici costituiscono un piano principale completo corrispondente 

 a quell'indice (v o un divisore di v); e che tutti i piani principali corrispondenti a 

 radici che corrispondono ad uno stesso esponente caratteristico costituiscono un piano 

 PEiNCiPALE totale corrispoudcnte a quell'esponente. Per effetto del secondo modo di 

 coincidenza si dirà soltanto che due o più piani principali coincidono. 



Si ha allora che la multiplicità rispetto a un suo punto di una corda impropria 

 generica di un dato fascio è uguale relativamente a tutti i piani principali di uno stesso 

 piano principale completo; se un piano principale possiede la corda impropria speciale, 

 la possiede pure ogni piano dello stesso piano principale completo e tutte queste corde 

 coincidono in una corda impropria speciale completa. Di piìi su un piano principale 

 totale esiste una sola corda impropria speciale completa che può appartenere a parte o 

 a tutti i piani principali completi cadenti in esso. Parimenti sull'unica corda impropria 

 speciale esistente su un piano principale totale esiste al più, un punto speciale che può 

 esser tale per parecchie delle corde speciali coincidenti nella suddetta. Se una corda im- 

 propria speciale possiede il punto speciale, lo posseggono pure le altre corde costituenti 

 con essa una stessa corda impropria speciale completa. 



§ 3. — Corde improprie relative ad una copia di rami 

 e loro niultÌ2Jlicità rispetto ai loro punti. 



Nel presente § ripeto brevemente, per le corde improprie relative ad una coppia 

 di rami, l'analisi fatta nel precedente per quelle relative ad un ramo solo. Si può 

 riguardare il caso di un solo ramo come caso particolare di quello di due: partico- 

 lare però in modo da esser degno di una trattazione a se, come abbiam fatto nel 

 precedente §; nella presente trattazione mi riferirò anzi ai risultati ottenuti. 



14. — Siano R e 3{ i due rami; essi avranno l'origine comune, che assumo 

 come origine delle coordinate ; supporrò che essi abbiano comune anche la tangente, 

 ponendo da parte il caso in cui ciò non avvenga. E per fissare le idee supporrò che 

 essi abbiano comuni l'Si, l'So, ..., l'Sj di massimo contatto, senza avere lo stesso S,+i 

 di massimo contatto; potranno eventualmente avere ancora comuni S. di massimo 

 contatto per i > j -\- 1- 



Fissato un sistema di coordinate, assoggettato a certe condizioni che tosto si 

 diranno, si indichino con Xi le coordinate dei punti di Z, e in particolare le coor- 

 dinate correnti dei punti di E, e con j:, le coordinate correnti dei punti di 9}. R e 91 

 si rappresenteranho mediante sviluppi di .r, e di j, {i > o) rispettivamente in serie 

 di Xo e di Jo: 



X. = K,(a;,) + L,(a;o) r. = K.fe) + S.fc). 



