19 SULLA VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 101 



Detti V e V gli ordini dei due rami, converrà pure aggiungere alle precedenti 

 le equazioni 



Suppongo gli S„_i coordinati scelti in modo che r„ = sia un S„_i generico per 

 l'origine comune ai due rami, Xi = un S„_i generico per la tangente, . . ., rr, = 

 e x,+i = due S„_i generici per l'S, di massimo contatto comune ai due rami, 

 a-j+2 = 0, . . . , x„_i = S„_i generici pei due S^+i di massimo contatto coi due rami. 

 Suppongo del resto questi S„_, scelti con assoluta generalità, ed in particolare sup- 

 pongo che per ogni termine dello sviluppo di x, in serie di a;o — o di j, in serie 

 di lo, o di j-, — j, in serie di x„ per Xo = lo (essendo la differenza calcolata per una 

 qualunque coppia di rami parziali di R e di SR) — che ha coefficiente =4= 0, un ter- 

 mine di ugual ordine, e con coefficiente =i= appartenga allo sviluppo di ogni x^ — 

 di ogni j, , o di ogni Xj — j, calcolata per la stessa copia di rami parziali — per 



<j <i. 



Ciò posto, K, dovrà rappresentare l'insieme dei termini successivi di x^ e di ji 

 che diventano uguali per a:o = ì»; K. l'insieme dei termini di ugual ordine di x, e 

 di j,. L, e 2, saranno le serie dei termini di x, e di j, rispettivamente d'ordine mag- 

 giore di Kj. 



Nei termini di K, la variabile (xo o jo) compare a potenze fratte il cui deno- 

 minatore è divisore comune di v e di v; nei termini di L. e di 2, compare a po- 

 tenze fratte il cui denominatore è divisore di v o di v rispettivamente. Suppongo L, 

 e 2, cosi scritte che a ogni termine dell'una ne corrisponda nell'altra uno di ugual 

 grado, avendo coefficiente nullo se il termine non esiste effettivamente. In ciascuna 

 serie avranno certamente coefficiente nullo i termini in cui il denominatore del- 

 l'esponente ridotto alla sua minima espressione non è divisore rispettivamente di v 



o di V. 



Per le intere serie x, e j. la legge per la scrittura simbolica degli esponenti e 

 dei coefficienti non nulli sarà la stessa seguita nel § precedente, colla differenza che, 

 relativamente al secondo ramo si useranno segni tedeschi (') e che, trattandosi di svi- 

 luppi in serie di Xo e di |o gli esponenti dovranno tutti esser divisi per v o per v 

 rispettivamente. 



Sia X il minimo comun denominatore degli esponenti di Ki (e quindi comun 

 divisore degli esponenti di tutti i polinomi K,). Rappresentando con t''' la variabile 

 {xo o jo) porrò 



K. = i/'+i/' + ... +i, /''••+ ^q^-l,/""+ ... + ,«.„ x"" + ... + m^r'p 



(0<m<w— 1 1=1,..., ot) 



K, = (t > in). 



Dovrà essere w <;— 1. He j—1, K, —Q qualunque sia i. L.(a;„) e 2.(jo) dovranno 

 solo avere termini d'ordine > -^; con termini d'ordine > -y? incominciano quindi 

 gli sviluppi di ogni x, o J, per i > m. 



(') 1, 2 saranno quindi i segni analoghi a 1, 2 relativi al secondo ramo. 



