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SULLA VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 107 



19. — Fissata la risulta determinato un intero gruppo di valori di G a cui 

 il valore scelto appartiene e a cui corrispondono piani principali elementari tutti 



V 



coincidenti: sono tutte le £ per cui = = S^ sono radici primitive dell'unità dello 

 stesso indice della = corrispondente alla e = £ scelta; ovvero tutte le l per cui 



£Aò = tf assume lo stesso valore che per la e = z: scelta, se n divide v ; ovvero tutte 



le Z, se n non divide v. 



Dopo quanto si è visto nel § precedente è naturale la domanda: quali legami 

 hanno luogo fra le corde improprie speciali elementari corrispondenti a tutte le B di 

 uno stesso gruppo? 



Consideriamo tutti i termini di X'.(<) — 3e',(t) di ordine, in t, minore di uv. Indi- 

 cato con p l'esponente di un termine qualunque di 2;fc,) e di Li(Xo) tale che T ^ P < u, 

 e con r, e v, i coefficienti dei termini d'ordine p di L.(j;„) e di S.fo) rispettivamente , 

 questi termini sono della forma 



(t) • (P,r, -/v,)-ePMP.r,-r.+,) 



e, pei valori di 9 per cui esiste la corda impropria speciale elementare, debbono 

 annullarsi tutti. I numeri p debbono distinguersi in due classi: 1° Ridotto p ai mi- 

 nimi termini, il suo denominatore non divide o v o v: il termine (t) si annulla solo 

 se, rispettivamente, ^^' = P, o -^' = p,; il suo annullarsi non dipende cioè da G se 

 non in quanto la corda di cui si tratta appartiene ad un determinato piano princi- 

 pale completo. Se adunque questo termine si annulla per un valore di 9 apparte- 

 nente a questo piano, si annulla per tutti. 



Se esiste la corda impropria speciale elementare per un particolar 9 questo caso 

 non può presentarsi se f?i = 0. 



2" Ridotto p ai minimi termini il suo denominatore divide tanto v quanto v. 

 Poiché di questo solo caso si avrà a parlare più lungamente in questo n", si inten- 

 derà appartenere ad esso ogni p, ì\, r, di cui non sia detto esplicitamente l'opposto. 

 L'annullarsi del termine (t) può avvenire indipendentemente dal particolar valore 

 di 0, ovvero non a seconda che è verificata o non l'uguaglianza 



(b) r^L^J^^p. (t= !,...,« -2) 



n r. 



Considero come generico il caso in cui ciò non avvenga. 



Fissato un valore di 9 , questo fa assumere valori determinati a tutte le espres- 

 sioni 9P^: e questo sistema di valori determina nel gruppo di valori di definito in 



principio del n", un sottogruppo costituito da tutte quelle 9 per cui le eP^ assu- 

 mono rispettivamente quei valori. Per tutte le 9 di un tal sottogruppo l'espressione (t) 

 si annulla, se si annulla per una di esse. 



Per tutte le 9 del sottogruppo esiste poi la corda impropria speciale elementare 

 se per tutte si verifica la (a). Orbene la (a) si verifica per tutte le 9 del sottogruppo 



