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quando si verifica per una particolare dì esse. Infatti si ha allora necessariamente 



u > iii > ^ a seconda che Pi =4=0 o =0: inoltre o Azr- , rispettivamente -^' 



sono < T, ovvero, considerati come p, appartengono al secondo caso sopra menzio- 

 nato. Invero se Pi = si è osservato che ogni p appartiene a questo caso; se poi 



Pi =1=0 basta osservare che, per ipotesi, Pi ]„ — Io2=)=0, onde non potrebbe ^^ appar- 

 tenere al primo caso senza che u < ^=- , mentre si ha già u > -W. 



Se poi ^ (rispettivamente ^B)<f, si ha di più 6^'^ = 1 se P, =<= 0, 9^^^ = 1 seP, = 0. 



Questo è immediata conseguenza delle ipotesi se = 2; se e = E non abbiamo che 

 a riferirci al nMl (2° è) P) e 4"«)). 



(1) e*) 



Segue che per tutte le 9 di uno stesso sottogruppo 6 o 6 , rispettivamente 

 se p, =1= Pi = 0, assumono sempre lo stesso valore; questo avviene poi sempre 



per G"*^ ; avverrà quindi pure per 9"^. Di qui, non solo la (a) è soddisfatta per tutte 

 le 9 di un sottogruppo se lo è per una, anche la (P) non si altera se si scambiano 

 fra loro tali 9, onde tutte le corde improprie speciali elementari corrispondefiti alle 9 di 

 uno stesso sottogruppo coincidono. 



A sottogruppi diversi appartenenti allo stesso gruppo possono corrispondere 

 corde improprie. Questo avverrà quando per qualche p le equazioni (b) siano soddis- 

 fatte , essendo il p tale che il sopprimere la corrispondente condizione 9P'*' = cost. 

 venga ad allargare il sottogruppo. Ora è da notare che tutte le corde improprie spe- 

 ciali corrispondenti a Q di uno stesso gruppo, coincidono. Infatti p, dipende da 9 solo 

 in quanto 9 appartiene all'intero gruppo : per tutte queste 9 assume quindi sempre 

 lo stesso valore; onde per tutte assumono lo stesso valore P,r. — r,+i, P.v, — r,+i e 



Qpv -- P' ''■ ~ '•'+^ gg questa espressione non ha la forma -^\ in particolare se non 

 è ili ^ < T (nel qual caso 9= 1 o 9 = l rispettivamente) può essere 



V 



p = -^ = -^1 . Per tutte le 9 del gruppo poi, seG = Eo0 = £eri divide v (il 



caso in cui ciò non avvenga si tratterà tosto) 9*"^ assume anch' esso sempre lo 



stesso valore: lo stesso avviene quindi per 9"^ = 9"'\9'*'.9 (indicando con v^ (1) 

 (2) a seconda che P, 4= o = 0). L'equazione (P) non si altera quindi quando a un 

 valore di 9 si sostituisca un altro qualunque valore dello stesso gruppo. 



Nel caso escluso in cui n non sia divisore di v basta osservare che Ci = e 

 che u. = poiché il denominatore di u = t + '=^- — 1 ovvero = y + ^^ 1 è al- 

 lora divisore della sola v. L'equazione (P) assume quindi allora la forma 



B + :''' A ^ = 



ove u) ha lo stesso significato che or ora e B ed A sono indipendenti da 9 = C. 

 Poiché JV è, come sopra si è visto, indipendente dal particolar valore di Z, questa 

 equazione determina un'unica corda impropria speciale. 



