27 SUM.A VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 109 



A diversi gruppi di 9 può appartenere lo stesso piano principale completo; avviene 

 questo quando p, è indipendente da » se 6 = Z e quando i diversi gruppi sono defi- 

 niti da =. appartenenti, rispetto al ramo [R], allo stesso piano principale totale (§ prec.) 

 se e = 2. Avuto mente al fatto che, per tutti i valori di 9 per cui esiste la corda 



impropria speciale elementare e' o 6^*'' a seconda che Ri =4= o = hanno costante- 

 mente lo stesso valore, la sola osservazione dell'equazione (P) mostra che allora le 

 corde improprie esistenti sul piano considerato costituiscono un gruppo proiettivo al sistema 



dei corrispondenti valori di 6"''^. 



Chiudiamo quest'analisi delle corde improprie speciali elementari ritornando un 

 istante sulla determinazione dei sottogruppi di cui sopra si è parlato. Distinguiamo 

 tre casi: l°e = £; 2° 6 -= Z: e n divide v; 3» e = Z e n non divide v. 



1° Per definizione appartengono allo stesso sottogruppo tutte le £ per cui 



V - 



assumono lo stesso valore l^ —=. e ogni s''^ ; si vede facilmente che tutte e sole 

 queste £ fanno assumere lo stesso valore a E^, ove M è il massimo comun divisore 



di - e 'di ogni pv. Ridotto p alla piìi semplice espressione sia cr il suo denomina- 

 tore; sarà pure M il massimo comun divisore di "- e di ogni -, ossia, indicando 

 con m. e. m. (X, a) il minimo comun multiplo di \ e di ogni ff, 



M = 



111. c.in.(X, a) 



l^ sarà esso stesso radice dell'unità, e l'indice di questa radice sarà 



V : M =: m. e. m. (\, a) ; 

 od anche, se ?" è il numeratore di y ridotto ai minimi termini, 



= m. e. m. (X, 5"). 



V 



Si deve poi avere E-^ ^H=i=l; £^' non può adunque essere radice dell'unità di 

 indice 



^ . M = ^■'^■^■^^'°) = m. e. m. (r). 



A K 



Se quindi si pone 



— m. e. m.(À,^) I — m. c.m.{r) _j_ ■■ 



ad ogni sottogruppo di radici E corrisponde un valore di E, e reciprocamente, es- 

 sendo il sottogruppo definito dall'equazione H^' =^ — i . 



2» e 3°. Ripetendo un ragionamento del tutto analogo al precedente si ottiene, 

 quando ^ E e ti divide v : 



