29 SULLA VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 111 



esistere più di uno (per una detcrminata 6) — ; e condizione necessaria e sufficiente 

 per l'esistenza di questo punto è, oltre alla suddetta uguaglianza, che il termine prin- 

 cipale di X',(<) — X', (t) (i > 1) sia d'ordine > Qj. 



2° Anche pei punti speciali elementari, quando esistono, si ha che se un tal punto 



V 



esiste per una particolar 6 esiste per tutte quelle 6 per cui Q ^ Q^ ha lo stesso 

 valore. 



21. — Raccogliendo i principali risultati fin qui ottenuti nel presente § : 



Si considerino due rami dee/li ordini v e v aventi la stessa origine e la stessa 

 tangente, e sia N il M. C. D. dei due numeri v e v . Relativamente alla coppia di rami 

 e ad una radice ^-esima dell'unità esiste sempre uno e un solo piano principale 

 DELLA COPPIA, Sostegno di un fascio di corde improprie relative alla coppia di, rami 

 (avente il centro nell'origine dei rami), passante per la tangente comune ai due rami. 

 Un piano princijKtle relativo ad una data radice ìi-esima dell'unità può poi contenere 

 una ed una sola corda impropria speciale (diversa dalla tangente) relativa al ramo 

 ed alla detta radice, che ha, rispetto a' suoi punti, inultiplicità maggiore di quella ge- 

 nerica delle corde del piano, rispetto ai loro punti. Questa e questa sola corda impropria 

 può contenere punti speciali rispetto a cui ha multiplicità anche maggiore. 



I piani principali della coppia di rami si distinguono in dice classi per mezzo del 

 numero \, definito al n" 14: appartenendo all'una classe tutti quelli per cui è radice 

 -^esima di una =., definita da =.^=^1, E=!=]; e appartenendo all'altra classe quelli per 

 cui il contrario avviene. 



I piani della prima classe si riuniscono a gruppi di - coincidenti in un piano 



principale completo, piano principale (non completo) di un nuovo ramo d'ordine X de- 

 finito completamente dai rami dati (n" 16). 



Quanto ai piani della seconda classe è definito un numero n (n" 14) tale che a 



seconda che esso è divisore o non di N questi piani si riuniscono in b =: M.C.D. n, 



. ,. N . . , . . . . . . , 



gruppi di - ciascuno ovvero m un gruppo solo; in ogni caso tutti i piani di un gruppo 



coincidono in un piano principale completo. Tutti questi piani principali completi sono 

 contenuti in un S3 dell' S,+2 determinato dai due Sj (.i di massimo contatto dei due rami 

 (i quali si suppone abbiano comuni tutti gli spazi di massimo contatto fino all' S, 

 incluso); e coincidono tutti ovvero sono tutti distinti. 



Quando, essendo Ò>1, tutti i piani principali coincidono, e quando r\ non è di- 

 visore di N l'unico piano è contenuto nelV Sj dì massimo contatto coi due rami se, 

 usando le notazioni precedenti, c^ e c^^ ed è contenuto nelV Sj+i di massimo contatto 

 di R Sé e, = 0, di 9J se e, = ; il secondo caso si verifica in particolare se r\ non è 

 divisore di N. 



Le corde improprie speciali relative alla coppia di rami ed appartenenti a piani 

 principali di uno stesso piano principale completo coincidono. 



E superfluo notare clie i piani osculatori ai due rami non sono necessariamente 

 piani principali. 



