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tivamente per P e per P', non è mai degenere {^) se r non è tangente a <t>; è invece 

 generalmente degenere in caso contrario; ma cessa di esser tale se E — 1, cioè l'ordine 

 del contatto di p' con r è maggiore del massimo numero delle intersezioni di r con rami 

 parziali tracciati su O. 



29. Ma senza ricorrere a questo fatto studierò ora più da vicino la corrispon- 

 denza fra gl'intorni di r e di r' nel detto caso in cui essa non è degenere. 



Si consideri di nuovo la retta g infinitamente prossima a r, la quale descriva 

 il ramo T; intersechi essa <t> in prossimità di P nei punti x, y, ^, 'y, cui T faccia 

 corrispondere rispettivamente x , y', x', ~y' . (Si può anche supporre che x qI:, x' qx' 

 coincidano). Alla <; la T fa corrispondere le rette x y = g', x' IJ =~g', le quali de- 

 scrivono, tendendo ad / mentre g tende ad r, i due rami parziali di rigata V, V. 

 Per ipotesi gli ordini infinitesimali minimi delle coordinate di g' , J/ sono eguali fra 

 loro e a quello relativo alle coordinate di g. 



S'indichino con r' e con f' le coordinate rispettivamente di g' e di 'g', e si ponga 

 At'K — t'K — ^K; s'indichino inoltre con jj e "^, (1</<m) le coordinate rispettive 

 di ^ e di y. 



Si ha allora 



dove T._, è d'ordine infinitesimale maggiore di r,_,. Per l'ipotesi relativa al valore 

 di E, Ar'i_i è adunque d'ordine infinitesimale maggiore od almeno uguale a quello 

 minimo delle j. e quindi maggiore od uguale a quello minimo delle :«. Inoltre 



Ar'„+,_, = Ar'.^.'i'i + r'-i (j'i — Fi) - (s. — ì.) 



è sempre d'ordine infinitesimale maggiore di r,_i, e quindi anche dell'ordine infini- 

 tesimale minimo delle r'^; infatti 



Ji — ì. = r.-i(ji — Ji) 

 è d'ordine maggiore di r,_i. 



f e r sono adunque tangenti ovvero no a seconda che l'ordine infinitesimale 

 minimo di A r',_i è maggiore di quello di r,_i oppurno; e cioè sono sempre tangenti 

 quando x, y, x^ y^ stanno su rami parziali che incontrino r in P meno di l — 1 volte, 

 non sono generalmente tangenti nel caso contrario. 



La corrispondenza fra gl'intorni di r e di r' è adunque plurivoca se l'ordine del 

 contatto di p' con r è uguale al numero massimo delle intersezioni di r con rami par- 

 ziali tracciati su <^\ è invece univoca se quel contatto è maggiore. Dal fatto che la cor- 

 rispondenza è univoca senza elementi eccezionali, segue tosto che essa è proiettiva. 



Un caso particolare notevole dei precedenti risultati si ha supponendo che la p' 



(') Cioè non esistono rette dell'intorno di r a cui corrispondono infinite rette dell'intorno di r. 



