41 SULLA VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 1-3 



coincida con r' ; allora, se la retta r non appartiene a (t) la corrispondenza fra gl'in- 

 torni di r e di r' e sempre proiettiva (non degenere) e quindi in varietà di rette di 

 lei' corrispondentisi per T le rette r e r' hanno la stessa miiltiplicità (in quanto 

 si corrispondono perchè passano rispettivamente per P e per P') e le varietà tangenti 

 ad esse (o meglio alle loro imagini in ®) in r e r sono proiettivamente uguali. 



30. — Di questo caso particolare noi ci varremo nel seguito, assumendo come 

 <t) una M„.i passante per la curva C e non contenente le corde di C che si vogliono 

 studiare (corde improprie relative a P). La trasformazione T trasformerà biunivoca- 

 mente la varietà delle corde di C nella varietà delle corde della curva C trasfor- 

 mata di C per la T, poiché non tutte le corde di C sono trisecanti ('). 



Assumerò come T una trasformazione quadratica a M4_2 fondamentale spezzata 

 in due S„_8. È noto che si determina una tal trasformazione assumendo in Z un 

 sistema di elementi fondamentali costituito da due S„_, G, G, aventi un S,._3 comune 

 (giacenti in un S„_i) e da un punto arbitrario, e facendo corrispondere alle M^_i 

 di Z per G, Gì, gli S„_i di Z'. Agli S„_i di Z corrisponderanno le MLi di Z' di 

 un sistema omaloidico la cui base è proiettivamente uguale a quella del sistema 

 considerato in Z; è quindi costituita da due S„_2 G', G', aventi un S„_;, comune e da 

 un punto 0'. A tutti gli S^ di OGi corrispondono proiettivamente gli Sk_i di G', in 

 modo che alle rette appoggiate a G e a uno di quegli Sk (eccezion fatta per quelle 

 contenute in OG) corrispondono rette uscenti dall' S^-i corrispondente all'SK. 



Si riconoscono agevolmente questi fatti con considerazioni sintetiche, od anche 

 ricorrendo alla rappresentazione analitica della trasformazione (-). 



(') V. una nota del prof. Castelnuovo alla Memoria del prof. Bertini, Intorno ad alcuni teoremi 

 della geometria sopra una curva algebrica, ' Atti dell'Acc. di Torino ,, XXVI, 1890. La propoaizione 

 rientra in una più generale enunciata dal prof. Del Pezzo {Sulle proiezioni di una superficie e di 

 Ulta varietà di uno spazio di piìi dimensioni, " Rend. Acc. Se. di Napoli, 1886). 



fì In coordinate omogenee assunti gli Sn-i G6', G'G', rispettivamente come xo = 0, x'^ = Q, 

 e 0' come vertici opposti degli (n+D-spazi fondamentali, egli Sn-i OG, OG), O'G',, 0' 6' rispet- 

 tivamente come a;, = 0, j-s=0, x',=0, a;'-, = 0, detta rappresentazione analitica è 



px\=xioro (« = 1 «) l ax,= x\x'o (»' = 1 , ... , ■«) 



p x'o ^X^Xi I <J a'o = 3!iX'<i 



Per le applicazioni analitiche pub essere utile scegliere su Gì ; 0' cadrà su G', e gli Sn-i OGi , 

 O'G'i diverranno due S„-i arbitrari n, ir' per Gì e G'i rispettivamente, ai quali sono tangenti in 

 e 0' rispettivamente le Wn-ì dei due sistemi omaloidici. In coordinate non omogenee, assunti 

 allora in I GGj come S„-i all'infinito, tt come S„-i a:o = 0, un S„-i qualunque per G come Xi = Q 

 e Sn-i linearmente indipendenti fra loro e da ir per come x^ = 0, Xz = 0, ... , a;n-i = ; e assunti 

 in Z' G'G', come 3;% = 0, ir' come S„_i all'infinito e gli altri S„-i fondamentali in modo analogo a 

 quelli di I, le formole della trasformazione sono 



i Ti = a;'i (e=!=l) 



