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IV. — Ricerche sintetiche. 



§ 6. — Multiplicità delle corde improprie. 



Varietà tangenti alla Ma delle corde di una curva 



in una corda inn)ropria. 



Esamino in questo § le corde improprie dal punto di vista della geometria della 

 retta, cioè come elementi della Mg delle corde della curva C cui appartengono. Quando 

 occorra ricorrere alla rappresentazione delle rette come punti di un conveniente spazio 

 ricorrerò alla rappresentazione sulla © studiata nel § 4. Chiamerò x la detta Mj di 

 rette (considerata come tale, non come M3 di punti) e conserverò lo stesso simbolo 

 per indicare la sua imagine sulla ©. 



31. — Un fascio di corde improprie è rappresentato in @ da una retta di x per 

 cui passano una piìi falde {}). Se si considera questa retta -fascio solo in quanto 

 è imagine uno dei diversi fasci di corde improprie che possono sovrapporsi, la retta 

 stessa — 0, più generalmente un suo punto-corda impropria — appartiene ad una sola 

 falda di \; appartiene e non è perchè l'origine d'una falda può comporsi della so- 

 vrapposizione di piìi rette-fasci di corde improprie (0 punti-corde improprie), il che 

 spiega come si incontreranno corde improprie di multiplicità fratta (con denominatore 2). 



Per provare la precedente affermazione basta far capo alla definizione delle corde 

 improprie come limiti delle congiungenti le coppie di punti di un ramo di una 

 coppia di rami (n» 2). Consideriamo, per maggior generalità, la coppia di rami K 

 e 3? -del § 3, conservando le stesse notazioni. Si voglia determinare le coordinate del 

 punto (di @) corrente sopra un ramo intersezione di una falda di x per una deter- 

 minata corda impropria con un S/.,+n_j — complesso lineare speciale (imagine dell'in- 

 sieme delle rette di I appoggiate ad un suo S„_2), che si può, senza diminuire la gene- 

 ralità, supporre quello che ha in I, come S„_8 — sostegno rS„_2 all' infinito di .co = 0. 

 Si potrà operare come segue: si seghino R e iR con un S„_i per l'asse del complesso, 

 e abbastanza prossimo all'origine dei due rami ; si fissino due punti dell'intersezione 

 l'uno di R, l'altro di 3ì e si conduca la loro retta; facendo variare 1' S„_, in modo 



(') La parola falda di una superficie in S„ avente per origine un suo punto ha un senso ben 

 definito se s'intende per essa il luogo di tutte le posizioni che assume un ramo (avente per origine 

 quel punto) della sezione della superficie con un conveniente S„-i (pel punto) mentre questo ramo 

 varia in un campo convenientemente limitato nell'intorno del punto, per modo che mai il ramo 

 venga a trovarsi, in due posizioni diverse, sullo stesso S,;-i. Facendo variare con continuità l'origine 

 del ramo lungo una linea della superficie si ottiene la falda urente per origine quella linea (cfr. il 

 cycle de nappes dell'HALPHEN, Sur les lignes xingulières des surfaces algSbriques, ' Annali di Mat. ,,(2), 

 9, 1877; cfr. pure Del Pezzo, Intorno ai punti singolari delle superficie algebriche, ' Rend. Palermo „ VI). 

 Quando un punto od una linea si concepiscono come la sovrapposizione di piii punti o linee, ha un 

 senso ben determinato il dire che un tal punto od una tal linea appartiene ad una determinata 

 falda, intendendo con ciò che essi si raggiungono muovendosi con continuità sulla falda. 



