43 SULLA VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 125 



che tenda all'origine P dei due rami si faccia muovere con continuità questa retta 

 (determinandola per mezzo dei due giunti che dai due primi si ottengono per conti- 

 nuità). La retta descriverà un ramo parziale del ramo di corde considerato. 

 Per la scelta fatta dell'asse del complesso, si ha <^=t^, onde 



(1) ì = Qf<^ —etQ 



ove 6"=!, P=l"' P^W (n' 15 e 19) 



Le coordinate del ramo risultano espresse con serie di potenze di f e t, o, per 

 la (1), con serie di potenze fratte di t. Si otterranno serie di potenze intere ponendo 



t = te onde t = e«e. 



Si ottiene il ramo parziale considerato fissando il valore di e il valore iniziale di 

 t che si fa poi variare con continuità. Ma il ramo totale rappresentato dalle serie 

 non si altera sostituendo kt & t, ove k è arbitrario. Quindi si otterrà ancora lo 

 stesso ramo assumendo per t uno qualunque dei p valori per cui è soddisfatta la 

 / =r fé per t dato, ed anche assumendo per t i v valori corrispondenti allo stesso 

 valore di j;„; in altri termini assumendo per 6 una qualunque delle p radici dell'equa- 

 ziojie oi? = di cui è radióe la prima 6 considerata, e assumendo il punto di R su 

 uno qualunque dei suoi v rami parziali. Con ciò è provato l'asserto (cfr. i n' 15 e 19). 



Riguardo alle corde di un ramo solo non si ha che a ripetere il ragionamento 

 precedente, identificando i rami R e SR. 



Nei punti generici di una retta-fascio di corde improprie il cono tangente è co- 

 stituito di piani; sarà provato tosto che questo è vez'o per tutti i punti — corde 

 improprie. Corollario della proposizione precedente è allora che ad una corda im- 

 propria appartiene un solo piano tangente a X- un solo cono osculatore ('), ecc. 



32. — Conosciamo la multiplicità di una corda impropria generica (nel suo 

 fascio) a relativamente a' suoi punti. Essa è: 



1" quando a è corda impropria relativa ad un solo ramo R 



ymin. ; (1) — V, (m),, — (o-)„ I ovvero y min. j (2) — v, {u)h — (s)^ 



a seconda che P, =4= ovvero =0 (n' 9 e 11); 



2° quando a è corda impropria relativa ad una coppia di rami R, 9ì aventi 

 la stessa tangente 



min. j (1) — V , uv — (juv I . -^ ovvero min. | (2) — v , uv — "^v | -^ 



(') È noto che le varietà aventi contatto superiore al primo ad una Mj di un iperspazio non 

 sono lineari. V. Del Pezzo, Sucili fspazi tangenti ad una supei-ficie o ad una varietà immersa in uno 

 spazio di più dimensioni. ' Rend. Acc. Se. di Napoli ,, 1886. 



