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a seconda che Pi=r=0 ovvero =0 |n' 16, 17, 18, 19. — Le formule valgono anche 

 se, essendo il centro di proiezione sulla corda, Qj < T v, purché a u v si attribuisca 

 allora il valore (m)» y 1 ; 



3° quando a è corda impropria relativa ad una coppia di rami aventi tan- 

 genti differenti 



(e - V) ^ (no 22). 



E facile calcolare la multiplicità di a relativamente agli S„_i per essa. Sappiamo 

 già di fatto che la somma delle multiplicità di tutte le corde improprie relative ad 

 un punto P e che stanno in un dato S„_i pel punto, non tangente in esso alla curva, 



rispetto a questo S„_i è ^-^-^ — , s essendo la multiplicità del punto (n° 2). Si tratta 



di separare le parti di questa somma corrispondenti alle diverse corde improprie 

 che stanno suirS„_i ; si riesce a ciò col seguente ragionamento di continuità. 



Sia n un S„_i mobile che non passi per P, ma sia, in una posizione iniziale, 

 infinitamente prossimo a P senza esserlo alla tangente al ramo R per P, e che si 

 accosti indefinitamente a P fino a passare per esso e per la corda impropria a re- 

 lativa ad R. TT sega R in v punti, appartenenti ai v rami parziali di R, e questi 



determinano ^ "l" corde della curva C in TT. Tendendo TT a passare per a queste 



corde tendono alle corde improprie della posizione finale di TT e tendono ad una 

 stessa corda impropria a tutte quelle che congiungono coppie di punti appartenenti 

 a due rami 'parziali di cui 1' uno corrisponda rispetto all'altro ad una data ra- 

 dice v-esima dell'unità 9 (cfr. n" 9). Tali coppie sono v; cosi in a vengono a ca- 

 dere V di quelle —^^^5- — corde; e queste v corde corrispondono alla radice 6 



d~\ a seconda che si considerano ciascuna come congiungente i due punti di una 

 coppia presi in un certo ordine oppure nell'ordine inverso. Si dovrà quindi attri- 

 buire la multiplicità -^ alla corda a considerata su TT e relativamente alla sola ra- 

 dice 6. (II caso in cui 6 = 6"' conduce allo stesso risultato, ma per via diversa: 

 alla B corrisponde una sola coppia di punti che però vien contata due volte). Si 

 ritrova qui incidentalmente la prova nella necessaria coincidenza di corde improprie 

 corrispondenti a diverse radici v-esime dell'unità (cfr. n° 13). 



Un ragionamento analogo si deve ripetere pel caso di una coppia di rami R, % 

 osservando però che allora non solo tendono ad a tutte le v corde che corrispon- 

 dono ad una stessa (n" 15), ma ancora tutti i gruppi di tali v corde per cui 



V 



e " ^ ha uno stesso valore (n° 19 e 22); che inoltre non sussiste più la consi- 

 derazione che ha dato precedentemente luogo al divisore 2. Così il numero cercato 



vv 



e ora -^. 



Concludiamo la multiplicità di una corda impropria qualunque differente dalla tan- 

 gente al ramo ad uno dei rami della coppia relativamente ad un S„_i qualunque per 



