45 SULLA VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 127 



essa è ~r ^^ a seconda che essa appartiene ad un ramo d'ordine v o ad una coppia 



di rami degli ordini \ e v, indipendentemente dal particolar piano principale cui ap- 

 partiene e dalla sua particolar posizione in esso. 



33. — Segue tosto che: f/li S„_i passanti per una corda impropria diversa dalla 

 tangente e non pel piano principale cui essa appartiene sono tutti o nessuno tangente a 

 X in detta corda. Inoltre, se la corda è generica nel fascio cui appartiene anche gli 

 S„_3 appoggiati alla corda diversi dal centro del fascio sono tutti o nessuno tangenti a 

 X nella corda stessa. Ora il cono tangente a x in una corda impropria generica è un 

 piano (di P) (n" 31), non possono quindi essere tangenti a x nella corda tutti questi 

 S„_i e tutti questi S„_3 (n° 25). Adunque la multiplicità della corda impropria gene- 

 rica a in X è 



min. } (1) — V. (u)h — (s)k > ^Ì- Y 0^^®^*^ ™i"- ' ^'•^) ~ '^' (")* ~ ^■^^« ' ^\- ^ 



quando a è relativa al solo ramo R, e a seconda che Pi =^ o =0; 



min. 1 (1) — V, (u — uj)v, v I . ^ ovvero min. | (2) — v, (u — u))v, v ^ ^ 



quando a è relativa alla coppia di rami R, 9t aventi la stessa tangente, e a seconda che 

 Pi=(= =0; 



min. je — V, v ; . ^ 



quando a è relativa alla coppia di rami R, 9{ aventi tangenti distinte. 



E possono darsi tre casi relativamente ai piani tangenti a x nei punti immagine 

 di tutte le corde improprie di uno stesso piano principale: 



1° Esiste un solo piano tangente in tutti questi punti [esclusi quelli corrispon- 

 denti alle tangenti ai rami e quelli corrispondenti alle eventuali corde improprie speciali) ; 

 e questo è immagine di una stella di centro P in un S» pel piano principale conside- 

 rato. Tutti gli S„_i per P sono tangenti a x in una di tali corde improprie. 



2° Esiste un solo piano tangente in tutti detti punti (esclusi quelli che corrispon- 

 dono alle tangenti ai rami); e questo è immagine del piano principale. Tutti gli S„_3 

 appoggiati a questo piano sono tangenti a x in una corda impropria. Nessun S„_i (per P) 

 è tale se non contiene il piano principale. Si noti che non si sono piìi escluse le corde 

 improprie speciali; secondo quanto precede esse non hanno nulla di particolare i-ispetto 

 agli S„_i per esse; esse hanno quindi in X la multiplicità generica delle corde del piano 

 principale considerato; la loro specialità consiste quindi (in questo caso) in ciò che gli S„_3 

 che le incontrano hanno tutti in esse colla x contatto maggiore di quello degli S„_3 che 

 incontrano una corda impropria non speciale, in questa. 



3° In tutti i punti considerati (esclusi quelli corrispondenti alle tangenti ai rami 

 e alle corde improprie speciali) il piano tangente a x non giace in ®. Questo piano ap- 

 parterrà a ® solo per punti particolari corrispondenti alle eventuali corde improprie 

 speciali, le quali avranno sempre per x la multiplicità generica delle corde del piano 



