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principale considerato: il piano tangente ad esse è sempre l'imagine del piano principale, 

 (Lo si prova con considerazioni analoghe a quelle fatte pel caso precedente). 



Nel secondo e nel terzo caso i punti speciali sono tali che tutti gli S„_3 per essi, e 

 quindi essi stessi hanno con x contatto maggiore di quello generico dei punti della corda 

 che si considera. 



Si noti che (sempre per la stessa ragione) ogni piano tangente che non giacia 

 "in® non- può segare @ altrove che nella retta immagine del fascio di corde im- 

 proprie poiché dovrebbe segarlo secondo un Si — fascio per l' imagine della corda 

 impropria considerata (la congiungente questo punto con un punto dell'ulteriore in- 

 tersezione); e ciò, nel caso di curve immerse nello spazio ordinario si traduce nel- 

 l'altro fatto che in P tutti i piani tangenti a x lungo l'immagine di un fascio di 

 corde improprie sono contenuti nell'Sa che sega in @ le immagini del piano princi- 

 pale e del punto P. 



34. — Soltanto per il primo caso non abbiamo parlato della particolarità che 

 presentano in x le corde improprie speciali e i punti speciali. A differenza degli 

 altri due casi le corde improprie speciali hanno allora in x multipUcità maggiore di 

 quella generica; basta a provarlo l'osservazione che in caso contrario, il cono tan- 

 gente a X nel punto immagine della corda considerata (e alla falda cui esso appar- 

 tiene) sarebbe certamente ancora un piano, e dovrebbero intersecarlo secondo rette 

 le immagini di tutti gli S„_3 e di tutti gli S„_i per quella corda, il che è impossi- 

 bile (n° 25). 



Per giudicare della multiplicità di tali corde, e ciò in modo analogo a quello 

 che si è fatto or ora per le corde improprie generiche, dimostrerò ora che il cono 

 tangente a x in una corda impropria qualunque è sempre costituito di piani. 



Infatti sia a la corda che si considera, t una parte irreduttibile del cono tan- 

 gente in a (immagine di « in @) a x; e si supponga in primo luogo che t sia con- 

 tenuto in ®; si operi una trasformazione T (n° 30) corrispondente ad una trasfor- 

 mazione quadratica T tale che l'co^'""-' — complesso delle rette appoggiate a G e a 

 un S„_3 F di G, per contenga a e non vi sia tangente a x (n" 25). Per la T x 

 si trasformi in x'» « in a' (ci in n')- T in t'; a e a' avranno la stessa multiplicità 

 in X e x' (n° 29). Per la T, e quindi per la T, il complesso delle rette appoggiate 

 a G e F si trasforma nell' insieme del complesso delle rette appoggiate airs„_3 f di 

 G' corrispondente ad F e di quello delle rette di 0' G' (fattavi astrazione dalle rette 

 di G' e da quelle per 0'). Ma il secondo sistema non contiene, in generale (per una 

 scelta generica di Gì) corde di C e in ogni caso non contiene a. Quindi la multi- 

 plicità di a' rispetto ad /^ è uguale a quella di a rispetto al complesso delle rette 

 appoggiate a G e F; /"' non è tangente in a' a x'- 



Se ora t non è l'immagine di un piano, nel qual caso sarebbe un Sg, tutti gli S„_i 

 di Z per a, in particolare quelli che passano per 0, sono tangenti a x in «; e per 

 la T gli S„_i per si mutano negli S„_i per 0', cosicché gli S„_i per 0' e a! e 

 quindi tutti gli S„_i per a' (n° 32) sono ancora tangenti ad a x' in a', t' è adunque 

 ancora contenuto in ®, e, f non essendo tangente a x' in a', non può essere altro 

 che l'Sj immagine di una stella. Ma tot' sono proiettivamente uguali (n° 29); 

 dunque t è un Sj. 



