47 SULLA VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 129 



Sia, in secondo luogo, t no° contenuto in ®, e si supponga dapprima la C im- 

 mersa in uno spazio ordinario : @ è allora una quadrica Q di un S5 = P. Si supponga 

 per semplicità che per a passi un solo piano principale; si determini una congruenza 

 il cui S3 (in P) seghi T secondo due generatrici distinte. Siano G e F le direttrici 

 della congruenza; si effettui come precedentemente la trasformazione T definita dalla 

 trasformazione quadratica T che ha G come retta fondamentale (n" 30), il punto 

 su F e Gì appoggiata a F. La congi-uenza sarà trasformata nella stella di centro f 

 (trasformato di F, in G') e in rette di 0' G'. Nella stella f esisteranno quindi due 

 fasci per a' le cui immagini sono le due generatrici di t' che debbono allora cadere 

 suirSs— punto immagine di f (per la scelta fatta della congruenza). Dei due fasci 

 l'uno può cadere nel piano principale cui appartiene a'; l'altro non, e determina un 

 piano tangente a x' in «', mentre tali non sono tutti i piani per a (in particolare 

 quelli per a' e 0'). L'ipotesi che T non sia un piano conduce così a un risultato assurdo. 



Il caso che C sia immersa in una S„ si riduce a quello ora trattato 'proiettando 

 la C da un S^-, generico ed osservando che questa proiezione si interpreta in P con 

 una successione di w — 3 proiezioni da un S„_i — punto di ®, da un S„_5 — punto 

 della proiezione di @, e così via (n" 24). 



Nel caso che per la corda impropria considerata passassero piìi piani principali 

 il ragionamento mostrerebbe soltanto che l'ordine del cono tangente è uguale al nu- 

 mero di questi piani. Ma il fatto enunciato è ancora vero; però non ha importanza 

 pel seguito, bastandoci di aver stabilito in modo generale che se gli S„_i per una 

 corda impropria vi sono tangenti a x, il cono tangente in quella corda è un piano. 



35. — Imitando i ragionamenti del n" 33 si ha ora che quando il piano tan- 

 gente a X nei punti immagine in @ delle corde improprie generiche di un dato piano 

 principale è l'immagine di una stella di centro P, contenuta in ìin S^ pel piano princi- 

 pale considerato (caso 1" del n" 33) le eventuali corde improprie di questo piano prin- 

 cipale hanno in x multiplicità maggiore di quella delle carde generiche dello stesso piano 

 principale e precisamente la multiplicità 



min. I Qj — (s)u , V I -g- 

 se la corda è relativa a un solo ramo; 



min. j Qj — ujv , v j ^ 

 se la corda è relativa a due rami aventi la stessa tangente; 



mm. j «e - -jj- , ^ j 



se la corda è relativa a due rami aventi tangenti distinte: dove Qj e Qq hanno gli 

 stessi significati che ai n' 12, 20, 22. 



E relativamente ai piani tangenti possono verificarsi nuovamente tre casi: che tale 

 sia l'immagine in (S di una stella di Z, ovvero l'immagine di un piano (che non può 



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