130 BEPPO LEVI 48 



essere altro che il piano principale), ovvero un 'piano di P non contenuto in &, a se- 

 conda che nelle precedenti espressioni della muUiplicità della corda il 2>rimo termine è 

 minore o maggiore o uguale del secondo. 



La corda avrà un punto speciale soltanto quando esso sia tangente a x in essa 

 corda; e reciprocamente se esistesse un punto tangente a x nella corda senza che 

 lo fosse un punto generico, detto punto sarebbe speciale. Se ora si ricordano i ri- 

 sultati dei n' 12, 20, 22 si vede che potranno aversi punti speciali soltanto nel 2° caso ora 

 considerato; d'onde segue che nel primo caso il centro della stella deve essere P ('). 



Si può rilevare che il piano tangente in una corda impropria qualunque passa 

 sempre per la retta immagine del fascio di corde improprie. 11 fatto è evidente se la 

 corda impropria è generica nel fascio ovvero se si è in uno dei casi 2° e 3° del n° 33; 

 e risulta da quanto or ora si è detto pel 1° e 2° caso del n° pres. Per l'ultimo caso 

 basta fare una trasformazione T che conduca ad una corda impropria di cui un punto 

 diverso da P sia tangente in essa a x' (cfr. la 2"- trasformazione usata nel n° 34). 

 Allora il piano tangente a x' è l'immagine del piano principale e passa quindi per 

 la retta immagine del fascio di corde improprie. Ora la T e la sua inversa mutano 

 i fasci di corde improprie di C e di C relativi al punto P e al punto ?' e a de- 

 terminati rami per essi rispettivamente nel fascio di corde improprie relativi ai rami 

 trasformati (per T e per la sua inversa). 



36. — Abbiamo esaurita l'interpretazione geometrica dei fatti principali incon- 

 trati nei §§ 2 e 3. Prima di chiudere il presente paragrafo voglio notare che si sa- 

 rebbe potuto fare molto piìi vasta applicazione del teorema del § 5 : utilizzando con- 

 venienti trasformazioni T in modo analogo a quanto si è fatto nel n° 34, si avrebbe 

 potuto determinare analiticamente la multiplicità delle corde improprie riducendola 

 a quella delle corde improprie relative ad un'altra curva rispetto ai loro punti; e si 

 avrebbe anche potuto studiare le varietà tangenti e le multiplicità dei contatti piìi 

 profondamente di quanto qui si sia fatto. Ma non mi pare opportuno soffermarmi 

 su questo punto che non parmi piìi di grande interesse. 



Nuove ricerche si potrebbero ora presentare nello stesso indirizzo: Si supponga 

 « > 3. Da un punto di un piano principale tt relativo ad un punto P di C si pro- 

 ietti la C sopra un S„_i: sia Ci la proiezione di C, P: quella di P: i piani principali 

 di C relativi a 1', diversi da ir, si proiettano in piani principali di Ci relativi a Pi; 

 inoltre, corrispondentemente al piano ir, compare un nuovo piano principale di Ci 

 relativo a Pi (se in n coincidessero più piani principali relativi a P, altrettanti 

 nuovi piani principali si otterrebbero relativamente a P,). Ogni retta passante per 

 e per un punto qualunque di questo piano è tale che la corda impropria P ha, 

 rispetto ad ogni S„_3 per essa retta, multiplicità maggiore che rispetto ad un S„_3 

 generico per 0. Per ogni piano principale relativo a P si ha così una varietà oo^ di 



(') Segue pure una dimostrazione del fatto che il cono tangente in una corda impropria è 

 sempre costituito da piani, in cui si suppone solo più ohe questa non sia tangente ai rami di C di 

 cui si tratta. Di fatto la seconda trasformazione del n" 34 dà luogo ad una corda impropria a cui il 

 punto f è tangente. Per quanto precede il cono Y tangente a questa corda è costituito dai piani 

 principali passanti per essa; anche Y e quindi costituito da piani. 



