49 SULLA VARIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 131 



rette che si può proporre di studiare come si è fatto pei piani principali; si otter- 

 ranno così in essa varietà di minor dimensione speciali di cui si potranno cercare 

 le condizioni d'esistenza e l'interpretazione geometrica. 



Nello stesso modo si potrà, considerando la proiezione di C da una di queste 

 rette, studiare la varietà oo' di piani tali che la corda impropria appoggiata ad uno 

 di essi, abbia, rispetto ad ogni S„_3 per questo, multiplicità maggiore che rispetto 

 ad un S„_3 generico per qualunque sua retta (appoggiata a quella corda); — e così 

 via. E si noti che si dovrà studiare a parte il caso che la corda impropria (P 0) 

 sia tangente in P ai rami di C rispetto a cui è piano principale il piano n. 



lo non mi soffermerò su questa ricerca, limitandomi ad osservare che: 



1° Queste varietà sono rappresentate in @ dalle varietà tangenti e osculatrici 

 dei diversi ordini a x nei punti immagini delle corde improprie. 



2° Dai teoremi dei §§ 2 e 3 si ottiene, per mezzo di proiezioni, il seguente 

 relativo alle nuove varietà: 



La varietà oo'' di rette corrispondenti ad un piano principale è interamente conte- 

 nuta in un Si (per il piano principale stesso). Essa è costituita di oo* stelle (di Sj) di 

 rette aventi i loro centri sul piano principale. Fra queste, tutte quelle i cui centri stanno 

 su una stessa corda impropria non speciale costituiscono un complesso lineare speciale 

 {in Ss) avente per asse questa retta: lo stesso avviene quando la corda è speciale e con- 

 tiene un punto speciale, eccezion fatta per la stella che ha per centro questo punto che 

 non appartiene necessariamente al complesso. Possono poi esistere varietà speciali oo' di 

 rette, contenute in questa ce* {una sola se non si considerano corde improprie relative 

 ad una coppia di rami a tangenti distinte); una tal varietà è sempre contenuta in un S3 

 per il piano principale; analogamente possono esistere varietà minori più specializzate 

 costituite dalle rette di un piano per una corda impropria oppure da una stella avente 

 il centro su una corda, impropria, da. un fascio di rette in quel piano, avente il centro 

 stdla corda impropria, oppure da un fascio della stella, infine da una retta in questo 

 fascio. In ogni caso una varietà speciale è contenuta in una varietà speciale di dimen- 

 sione maggiore di una unità e l'esistenza della prima conduce seco quella della seconda. 



Del tutto analogo enunciato vale per la varietà 00" di Sj , . . . 



Io mi volgerò ora a connettere lo studio delle corde improprie con quello delle sin- 

 golarità delle curve algebriche. È noto {') che un punto singolare qualunque di una 

 curva algebrica si può considerare come trasformato, per una conveniente trasfor- 

 mazione Cremoniana dello spazio cui la curva appartiene, di uno piìi punti di 

 un'altra curva algebrica (di cui la prima è trasformata per quella trasformazione); 

 è noto pure che ogni curva algebrica si può riguardare come proiezione di una con- 

 veniente curva algebrica di uno spazio superiore, priva di singolarità puntuali. D'altra 

 parte non esistono corde improprie relative a punti semplici; si pone così la domanda 

 sulla generazione di queste corde con quella dei punti singolari. Io mi occuperò 

 di questa ricerca, la quale getterà nuova luce sui fatti stessi già incontrati. 



(') Cfr. il seguito. 



