142 BEPPO LEVI — SULLA VAKIETÀ DELLE CORDE DI UNA CURVA ALGEBRICA 60 



Alle corde di una curva del nostro spazio corrispondono per dualità gli assi 

 della curva; a ogni ramo di elasse > 1 e a ogni coppia di rami aventi uno stesso 

 piano osculatore sono relativi fasci di assi impropri i cui centri stanno sulla tan- 

 gente (o nel punto d'intersezione delle tangenti) dei rami ed i cui piani coincidono 

 coll'unico piano osculatore. Un piano qualunque dello spazio sega la sviluppabile 

 appoggiata alla curva in un inviluppo di cui l'intersezione del piano col piano oscu- 

 latore considerato è retta multipla; quando il piano segante passa per un asse im- 

 proprio questa multiplicità cresce. Nei fasci di assi impropri potranno poi esistere 

 assi speciali e per questi potranno passare piani speciali. 



Passando poi alla curva come inviluppo di rette essa si rappresenta sulla qua- 

 drica Q dello spazio S5 in una curva di cui tutte le tangenti appartengono a Q e 

 precisamente agli Sj di Q imagini dei punti e dei piani osculatori della curva pri- 

 mitiva. Ai rami corrispondenti a rami della curva primitiva di rango > 1 e alle 

 coppie di rami corrispondenti a coppie aventi la stessa tangente sono relativi fasci 

 di corde improprie passanti per la tangente (alla curva di Q). 



Ogni piatto principale di una curva appartiene alla sviluppabile dei piani bitan- 

 yenti alla curva, e ogni punto principale (centro di un fascio di assi improprii) appar- 

 tiene alla curva' doppia della, sviluppabile aderente alla curva. Si verifica facilmente 

 l'esattezza della prima parte di questo teorema se si applica alla proiezione della 

 curva da un punto di un suo piano principale il noto teorema (') che il numero dei 

 punti doppi assorbiti da un punto s — pio di una curva piana diminuito di s{s — 1) 

 è uguale al numero duale relativo allo stesso punto. La seconda parte del teorema 

 è duale della prima. 



Si vede pure nello stesso modo che le corde improprie speciali sono le genera- 

 trici della sviluppabile bitangente alla curva nei inani principali cui appartengono, e i 

 punti speciali sono i punti dello spigolo di regresso della stessa sviluppabile, nei piani 

 principali cui appartengono; e dualmente. 



Si ricordi che la sviluppabile dei piani bitangenti e la curva doppia della svi- 

 luppabile aderente alla curva sono legate da una corrispondenza biunivoca in cui 

 sono omologhi gli elementi determinati dalle stesse coppie di tangenti; si vede allora, 

 per la prima delle due ultime proposizioni che i piani principali e i punti principali 

 relativi ai singoli rami e alle coppie di rami aventi la stessa origine e lo stesso piano 

 osculatore si corrispondono nella detta corrispondenza ; ed i fasci determinati da un 

 punto e da ìin piano omologhi sono rappresentati in Q da corde della curva delle tan- 

 genti relative ai rami di questa omologhi ai suddetti; quindi corde improprie se si tratta 

 di un ramo solo di due rami aventi la stessa tangente. 



Se il rango di un ramo è 1 il ramo imagine in Q non ha piani principali: come 

 sola corda impropria si può considerare la tangente. Si deduce che allora i piani 

 principali relativi al ramo primitivo coincidono col piano osculatore, e i punti prin- 

 cipali coU'origine del ramo. Si verifica agevolmente questo sulle formolo del § 2. 



('I Halphen, 1. e, p. 45; Smith, 1. e, p. 114; Zeuthen, Sur un groupe de théorèmes et de formules 

 de la geometrie énumérative. ' Acta Mathematica ,, T. I, p. 171 (in particolare p. 184). 



