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per n>S, il gruppo oo^ delle trasformazioni di ordine 2n — 5 che mutano 

 in sé stesso il sistema lineare co" delle superficie di ordine 2» — 5 aventi una data 

 cubica sghemba come curva [n — 3)'''', passanti per le ("7') corde di questa cubica che 

 congiungono n — 3 punti di essa a due a due, e tangenti in ogni punto della cubica 

 stessa agli w ^ 3 piani che dalla retta ivi tangente alla cubica proiettano i delti w — 3 

 punti di questa curra. 



La stella di rette invariante è qui sostituita dalla congruenza delle corde della 

 cubica. Per ?i = 3 si ha il gruppo proiettivo co^ che trasforma questa cubica in se 

 stessa; per w > 3 si ha un gruppo equivalente al gruppo di tutte le trasformazioni 

 proiettive sulla varietà delle corde di una C" razionale normale (EF, § cit.). 



Ciascuno di questi gruppi tipici risulterà definito — come appare già da questi 

 enunciati — mediante un sistema lineare di superficie invariante rispetto ad esso; 

 e sarà perciò equivalente (come in qualche caso si è pure accennato) a un gruppo 

 proiettivo sulla varietà a tre dimensioni rappresentata dal detto sistema lineare (sup- 

 posto semplice). Di ciascun gruppo assegneremo altresì una legge di generazione — 

 ossia il modo di costruirne l'operazione più generale — ; e ne daremo pure le equa- 

 zioni (finite) ('). 



Riunendo portando i risultati ottenuti in EF e in questa mia Memoria, diremo: 

 Ogni gruppo continuo di trasformazioni cremoniane dello spazio (dipendente da un nu- 

 mero finito di parametri) può ridursi con un'ulteriore trasformazione cremoniana a un 

 gruppo proiettivo, a un gruppo di trasformazioni conformi, a uno dei dodici gruppi qui 

 enumerati e loro sottogruppi, ovvero ai gruppi tipici oo^ del caso ottaedrico e icosaedrico 

 che sono assegnati iti EF, §§ 26-27. 



In tutto sono dunque sedici gruppi tipici completi (mentre nel piano se ne 

 hanno soltanto tre); oltre al gruppo proiettivo, abbiamo due gruppi di trasformazioni 

 quadratiche (il gruppo conforme, e il 1° della nostra enumerazione), tre gruppi di tras- 

 formazioni cubiche (2°, 11", e gruppo co3 ottaedrico), tino di trasformazioni del 7° or- 

 dine (gruppo co'' icosaedrico), mentre per gli altri nove è determinato il tipo, ma 

 l'ordine può assumere qualsiasi valore (e può anzi dipendere da due, anche da tre 

 numeri interi positivi ai'bitrari). 



Infine, per quanto si riferisce alla irriducibilità di questi vari gruppi tipici (com- 

 pleti), possiamo osservare anzitutto che i gruppi 1", 2° e 3° sono i soli che conten- 

 gano un sottogruppo invariante doppiamente intransitivo il quale operi in modo oc^ 

 sulle singole traiettorie (fisse): essi si distinguono poi fra loro jjer i gruppi rispett. 

 subordinati nelle congruenze (invarianti) formate da queste traiettorie. Altrettanto 

 dicasi dei gruppi 4", .5° e 6", colla sola differenza che i loro (analoghi) sottogruppi 

 invarianti operano in modo oo^ sulle proprie traiettorie (senza che questi nuovi gruppi 

 siano o possano ridursi a sottogruppi dei precedenti). Infine, fra i gruppi tipici che 

 rimangono (e che neppure sono possono ridursi a sottogruppi di quelli già consi- 

 derati), i gruppi corrispondenti ai casi 11° e 12o (dei cui sottogruppi non occorre 



(') In una prossima Nota mi propongo di mettere in relazione queste mie ricerche con quelle del 

 sig. LiE sulla classificazione dei gruppi continui di trasformazioni puntuali dello spazio (Theorie dei- 

 Transformalionsgruppen, voi. Ili, cap. 8, p. 141 e seg.); e darò pure i simboli delle trasformazioni 

 infinitesime mediante le quali i gruppi tipici qui enumerati possono generarsi. 



