5 I GRUPPI DI JOXQUIÉRES GENERALIZZATI 225 



tener conto) sono i soli che non trasformino in se nessun fascio di superficie ; il 1", 

 9" e 10° ammettono un solo fascio invariante di superficie, e si distinguono fra loro 

 per i gruppi rispett. subordinati sopra queste superficie; e l'S" trasforma in sé due 

 diversi fasci di superficie, senza poter essere sottogruppo di nessuno dei tre ultimi 

 — e non potrebbe esserlo tutt'al più che del 9" — perchè non sono contenuti l'uno 

 nell'altro i gruppi da essi subordinati sulle dette superficie. 



2. — Anche in questa Memoria (come pure in EF, e' nella mia Nota cit. sui 

 gruppi primitivi) ci varremo continuamente della possibilità di ridurre birazionalmente 

 ogni gruppo cremoniano continuo dello spazio Sg a un gruppo proiettivo sopra una 

 varietà Mj di un certo spazio S^ — ossia di costruire, per ogni gruppo cremoniano 

 proposto, una varietà M3 la quale possa rappresentarsi sopra S3 in modo che a questo 

 gruppo cori-isponda su di essa un gruppo proiettivo — (cfr. EF, § 2). 



Accenniamo ora brevemente la via che ci proponiamo di seguire nella determi- 

 nazione dei vari gruppi tipici teste enumerati. 



Nel cap. I ci occuperemo di quei gruppi che trasformano in se, in pari tempo, 

 un fascio di piani e una stella di rette i cui sostegni (asse e centro) non si appar- 

 tengono (di modo che ogni punto dello spazio potrà individuarsi come intersezione 

 di un piano e di un raggio appartenenti rispett. a queste due forme). Troveremo così 

 tre. gruppi tipici completi, che incontreremo anche più volte in seguito, ma che è bene 

 studiare fin d'ora a parte, per metterne in evidenza l'accennato carattere comune. 

 Daremo anche alcuni criteri che si dimostreranno sufficienti per affermare che un 

 dato gruppo può ridursi a uno di questi tipi. 



Nel cap. II ci occuperemo di un altro caso, che è anche bene studiare da prin- 

 cipio, per poterne poi prescindere ogni qual volta questo ci riescirà opportuno: il 

 caso dei gruppi integrabili. Noi dimostreremo che ogni gruppo continuo integrabile di 

 trasformazioni cremoniano dello spazio è equivalente a un gruppo proiettivo sopra 

 un cono (razionale, a tre dimensioni) di prima specie (') : e vedremo anzi subito come 

 si possano costruire tutti i gruppi, anche non integrabili, equivalenti a gruppi pro- 

 iettivi sift'atti. 



Dopo di ciò passeremo a classificare ordinatamente tutti i gruppi cremonittni con- 

 tinui che trasformano in sé un fascio di piani. Partendo dalla considerazione del gruppo 

 subordinato in un piano generico di questo fascio, vedremo (cap. Ili) che questi 

 gruppi cremoniani sono birazionalmente equivalenti a gruppi proiettivi sopra varietà 

 (razionali) M3 di opportuni spazi S^, le quali (corrispondentemente al fascio di piani 

 invariante in S3) contengono una serie razionale oci di piani, di quadriche (a due 

 dimensioni), di coni. Dovremo perciò esaminare separatamente questi tre casi, dei 

 quali i primi due (cap. IV e V) si esauriranno facilmente; mentre invece il terzo 

 (cap. VI: varietà luoghi di coi coni) richiederà considerazioni più lunghe, se non più 

 complicate. 



Ci resteranno infine da studiare quei gruppi pei quali è invariante (soltanto) una 

 stella di rette, potendosi ora supporre che non sia contemporaneamente invariante 



(') considerabile come tale : ossia eventualmente anche di seconda specie, purché il gruppo, 

 di cui si tratta, lasci fisso almeno un punto della retta asse. 



Serie II. Tom. XLVIII. d' 



