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nessun fascio di piani appartenente questa stella. Dalla nota classificazione dei gruppi 

 cremoniani continui del piano (') (ossia di una forma di 2=» specie) segue pertanto 

 che il gruppo (cremoniano) subordinato in questa stella invariante potrà supporsi pro- 

 iettivo. E anzi, fra i gruppi proiettivi di questa stella, potremo limitarci a conside- 

 rare i seguenti (che soli non lasciano fisso alcun fascio di piani) (-): 



l" 1 gruppi primitivi (ossia il gruppo totale co», e i gruppi co" e oo^ con un 

 piano fisso); 



2° Il gruppo co» con un cono quadrico fisso. 

 Basterà dunque che ci occupiamo di quei gruppi cremoniani di S3 che, nella 

 stella di rette invariante, subordinano un gruppo proiettivo primitivo (cap. YIT), op- 

 pure il gruppo proiettivo co^ con un cono quadrico fisso (cap. Vili). 



CAPITOLO I. 



Gruppi che trasformano in sé una stella di rette 

 e un fascio di piani non appartenente a questa stella. 



3. — <-'gni trasformazione cremoniana dello spazio la quale muti in se stesso 

 un fascio di piani di asse a e una stella di rette il cui centro P non stia su a, è 

 completamente individuata dalla trasformazione proiettiva eh' essa subordina nel 

 fascio a e dalla trasformazione cremoniana subordinata nella stella P (e risulta pre- 

 cisamente da una composizione di queste due). Segue da ciò che anche ogni gruppo 

 di trasformazioni cremoniane rispetto al quale siano invarianti il fascio di piani a e 

 la stella di rette P potrà ottenersi per composizione di un gruppo proiettivo di quel 

 fascio e di un gruppo cremoniano di questa stella: l'uno e l'altro di questi gruppi 

 potendo venir assegnato completamente ad arbitrio. 



La nota classificazione dei gruppi cremoniani del piano (ossia di una forma di 

 2* specie) ci conduce pertanto a distinguere in questo caso tre diversi gruppi tipici 

 (coi relativi sottogruppi), secondo che il gruppo subordinato nella stella P può ridursi 

 birazionalmente — e noi lo supporremo già ridotto — a un gruppo proiettivo, a un 

 gruppo di trasformazioni quadratiche (con due fasci di piani invarianti), oppure a un 

 gruppo di Jonquières di un dato ordine (con un fascio di piani invariante). 



4. — Se nella stella P viene subordinato un gruppo proiettivo (al piìi x'), avremo 

 nello spazio un gruppo cremoniano di dimensione ^11, rispetto al quale saranno in- 

 varianti il fascio di piani a, e anche la stella di piani P: quindi il sistema lineare 

 (completo) somma di questi due, ossia il sistema lineare oo^ delle quadriche passanti 

 per la retta a e per il punto P. 



(') Enriques, ° Rend. Acc. dei Lincei ,, maggio 1893. Dei gruppi tipici — proiettivi, conformi 

 e di Jonquières — i primi sono i soli che possano non trasformare in se alcun fascio di rette. 



(^) LiE, Theorie (ter Traiisformationsgnippe», voi. IH, p. 94 : Lie-Scheffers, Vorlesiingen ilber con- 

 titiuirliche Grupjien, p. 276. 



