7 I GRUPPI DI JONQUIÈRES GENERALIZZATI 227 



Abbiamo dunque, come primo tipo di gruppo completo, il gruppo ocu delle tras- 

 formazioni quadratiche che mutano in sé stesso il sistema lineare co^ delle quadriche 

 passanti per wia retta fìssa e per un punto fisso non appartenente a questa retta (>). 

 Un'operazione generica di questo gruppo fa corrispondere ai piani dello spazio le 

 quadriche del nominato sistema oc» che hanno a comune anche una seconda retta 

 incidente alla prima (-). — L'intero gruppo oo'i è equivalente al gruppo di tutte le 

 trasformazioni proiettive della varietà MI di S5 (contenente una serie cc^ razionale 

 normale di piani, e 00- direttrici rettilinee) rappresentata da quello stesso del si- 

 stema ce 5 di quadriche. 



Assunti, in coordinate cartesiane non omogenee, il punto P e la retta a rispett. 

 come punto all'infinito dell'asse z e come retta all'infinito del piano xij, il gruppo 

 totale co" sarà rappresentato dalle equazioni: 



, _ ax + by + o _ , __ a, x -]- h, i/ + Ct . ^, __ az + ? 



colle condizioni [aJj c^] = 1 , ab — Pt = 1- E sarà allora invariante il sistema 

 lineare oc^ di paraboloidi iperbolici: 



z{ax + btj) -^ ex -\- dy + ez + f = 0. 



5. — Supponiamo ora che nella stella P venga subordinato un gruppo (al più 00*^) 

 di trasformazioni quadratiche, con due fasci di piani invarianti. Sostituendo alla con- 

 siderazione della stella di rette P quella di questi due fasci, potremo dire che il 

 nostro gruppo cremoniano di S3 è completamente definito dal trasformare in se cia- 

 scuno di tre fasci di piani, cogli assi comunque disposti, perchè non passanti tutti 

 per uno stesso punto; e in particolare anche disposti secondo i lati di un triangolo. 

 Questo gruppo potrà quindi determinarsi per composizione di altrettanti gruppi pro- 

 iettivi comunque assegnati nei tre fasci invarianti. Esso dipenderà da 9 parametri 

 al pili, e trasformerà in se il sistema lineare somma dei tre fasci considerati, ossia 

 il sistema lineare e»' delle superficie cubiche passanti per le rette assi dei fasci me- 

 desimi, e aventi un punto doppio in ciascun punto nel quale eventualmente si incon- 

 trino due di questi assi. (I vari casi che cosi si ottengono non sono birazionalmente 

 distinti.) 



Fissandoci sul caso dei tre assi disposti secondo i lati di un triangolo, potremo 

 assumere come secondo tipo di gruppo completo il gruppo oo» delle trasformazioni 

 cubiche che mutano in sé stesso il sistema lineare 00' delle superficie del 3" ordine aventi 

 tre dati punti doppi. Un'operazione generica del gruppo trasforma i piani in super- 



(') È questo appunto uno dei cinque gruppi contìnui di trasformazioni quadratiche dello spazio, 

 già enumerati dal signor Noether (Ueber continuirliche Gruppen con Cremona-Transformationen, 

 ' Jahresber. d. Deut. Matem.-Ver. ,, 1896). 



(') E, in tutto, hanno perciò a comune una conica (degenere) e un punto fuori di questa conica. 

 Questi sistemi omaloidici di quadriche furono già considerati nelle Memorie del Prof. Cremona 

 e Rend. Ist. Lomb. „ t. 4°, 1871; " .\nnali di Matem. „ S. 2», t. 5", 1872). 



