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ficie di questo sistema lineare, le quali avranno ancora a comune una cubica sghemba 

 passante per i tre punti doppi. — L'intero sistema lineare co' di superficie cubiche 

 rappresenta ima varietà M3 dello spazio S,, a curve sezioni ellittiche ('), sulla quale 

 al nominato gruppo co' corrisponderà un gruppo proiettivo. 



Assunti i tre punti basi doppi del sistema lineare invariante di superficie cu- 

 biche come punti all'infinito dei tre assi coordinati, il sistema stesso sarà rappresen- 

 tato dall'equazione: 



axyz + hyz + czx + dxij -\- ex -\- fij ^ gz -\- h ^^ () 



e le equazioni del gruppo totale oo^ assumeranno la forma semplicissima: 



colle tre condizioni <*, rf, — è, e. = 1 (^). 



6. — Supponiamo infine che nella stella di rette P venga subordinato un gruppo 

 di Jonquières di un certo ordine « — 1, il quale trasformi perciò in se, entro questa 

 stella, un fascio di piani di asse b (certo distinto dal fascio a), e il sistema lineare 

 00" dei coni di ordine n — 1 (f""') aventi b come generatrice {n — 2)p'^ e toccati lungo 

 questa retta da uno stesso gruppo di n — 2 piani. 



Oltre alla stella di rette P, sarà pure invariante il sistema vd- delle rette inter- 

 sezioni di due piani variabili appartenenti rispett. ai fasci a e b, vale a dire, secondo 

 che le stesse a, b sono sghembe si incontrano, la congruenza lineare di direttrici 

 a, b, oppure la stella di rette di centro ab. In ciascun piano del fascio b verrà subor- 

 dinato un gruppo di trasformazioni quadratiche, rispetto al quale saranno invarianti 

 i due fasci di rette aventi i centri rispett. in P e nell'intersezione del piano stesso 

 con a: invece in ciascun piano del fascio a verrà subordinato un gruppo di Jon- 

 quières di ordine n — 1. 



Il gruppo proposto, trasformando in se il fascio di piani « e il sistema co" di 

 coni t"~' della stella P (già definito), dovrà mutare in sé stesso anche il sistema li- 

 neare di superficie di ordine n somma dei precedenti. Dalla considerazione degli ele- 

 menti basi si deduce facilmente che questo sistema lineare ha la dimensione 2m -\- 1 

 il grado 3(w — 1). Così pure, essendo = h -j- 4 la dimensione massima del gruppo 

 (di ordine n — 1) subordinato nella stella P, ne segue che la dimensione massima 

 del nostro gruppo di S3 (per un dato n) sarà = («, -|- 4) + 3 = m -(- 7. 



Il terzo gruppo tipico completo di questa prima categoria è pertanto il gruppo 00""' 

 delle trasformazioni cremoniane di ordine n che mutano in sé stesso il sistema lineare 00'"+' 



(,') Enriques, ' Rend. Acc. dei Lincei ,, giugno 1894, p. 536 e seg. 



(') Queste trasformazioni rientrano come caso particolare in quelle (pure del 3° ordine) che si 

 possono rappresentare analiticamente con tre equazioni bilineaxi, e furono studiate dal sig. Noether 

 nella Memoria: Veber die eindeutigen Raumtransformationen... (' Math. Ann. ,, voi. III). La sestica 

 fondamentale di genere .3 fe qui spezzata in una cubica sghemba, e in tre rette di uno stesso piano. 



