9 I GRUPPI DI JONQUIÈRES GENERALIZZATI 229 



(di grado 3]n — l\) delle superficie di ordine n aventi a comune un punto (n — l)f'°, 

 una retta [n — 2)'''* passante per questo punto, gli n — 2 piani tangenti lungo questa 

 retta, e infine una retta [semplice) non passante per il punto (n — 1)^'° (0- Se però 

 questa retta semplice (a) si appoggia all'altra [n — 2)p'^ (b), il loro punto d'incontro 

 deve anche essere (» — l)""'" per queste superficie. 



Il sistema lineare oo''"+' testé considerato rappresenta una varietà Mj'""'' di uno 

 spazio 82,4.1 , sulla quale ai piani del fascio a corrispondono coni P'"' (di spazi S„) e 

 ai piani del fascio b quadriche (di spazi S3). Ai coni t"~' della stella P corrispondono 

 rigate razionali R''"~" di spazi Sj».! con coi direttrici minime di ordine n — 1. La 

 varietà M3'""" può generarsi riferendo proiettivamente il fascio delle direttrici minime 

 di una tal rigata a una punteggiata il cui sostegno non incontri lo spazio S2„_i della 

 rigata stessa, e proiettando ciascuna di quelle direttrici dal punto corrispondente di 

 questa punteggiata. Si hanno cosi precisamente gli ca^ coni f""'. 



I gruppi cremoniani di questo terzo caso saranno equivalenti a gruppi proiettivi 

 su questa Mf/"^" di S.,„4.i. La veduta rappresentazione spaziale di questa varietà Mf'"" 

 nasce da un'opportuna sua proiezione sopra S3; e questo permette di stabilire come 

 sia costituito il sistema omaloidico che determina una trasformazione generica del 

 gruppo. Se le retto a e b non si incontrano, si ottiene un tale sistema prendendo 

 quelle superficie del sistema complessivo 00^"+' che passano ancora: 1°) per una C"~' 

 piana intersezione di un piano per a con un cono t""' ; 2°) per n — 2 generatrici di 

 questo cono le quale formino sul cono stesso (per ?* — 2 > 4) un gruppo proiettivo a 

 quello degli n — 2 piani tangenti fissi ai coni t"""' lungo b. Se a e b si incontrano, 

 quel cono f"~' e la sua sezione piana C"~' si spezzano rispett. in piani passanti per b 

 e in rette uscenti dal punto ab. 



Si hanno così esempi di sistemi omaloidici di superficie di un ordine qualunque n, 

 e precisamente di monoidi (anzi, se a e b si incontrano, monoidi in due modi diversi). 

 Questi sistemi differiscono da quelli di De Paolis (') — i soli, ch'io sappia almeno, 

 finora considerati —, perchè il cono tangente a una superficie generica del sistema 

 nel punto (« — 1)^'" P non è fisso, ma comprende un piano variabile. 



Per scrivere le equazioni del sistema lineare invariante e del gruppo totale 00"+', 

 possiamo mandare all'infinito le rette a e è, ad es. sui piani xij e yz, e far coincidere 

 fra loro (e precisamente col piano all' infinito) gli n — 2 piani tangenti fissi lungo 

 quest'ultima retta (il che non costituisce una particolarità del punto di vista bira- 

 zionale). Il punto P sia poi il punto all' infinito dell'asse z. Allora il sistema li- 

 neare 00" dei coni r""' potrà rappresentarsi coll'equazione ij = /"„_! (x), essendo /"„_! 

 un polinomio arbitrario di grado m — 1 in x. E il sistema lineare invariante oo°"+i di 

 monoidi, somma del sistema precedente e del fascio di piani z = cost., sarà rappre- 

 sentato dall'equazione: 



«!/ 4- /"n-i (x) + bzg-\-z. (p„_i (,r) = 



(') Per » = 2 bì ritrova un sottogruppo del gruppo completo considerato al n'" 4. 

 (') " Giornale di Matem. ,, voi. XIII (1895). Cfr. anche la Nota del Bianchi nel voi. XVI dello 

 stesso Periodico. 



