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contenente 2n -\- 2 parametri omogenei, cioè a, b e ì 2n coefficienti dei due polinomi 

 /■„_! e (p„-i. Le equazioni del gruppo oc"+' saranno allora le seguenti: 



colle condizioni a^ d^ — biCi = at(h — biC. = 1, ed essendo i|j„_, (.e) ancora un poli- 

 nomio qualunque di grado ti — 1 in x. 



7. — Ai gruppi tipici finora incontrati si possono ridurre tutti i gruppi cremo- 

 niani che trasformano in sé un fascio di superficie razionali e una congruenza del 

 1» ordine di curve unisecanti queste superficie, bastando perciò riferire quel fascio 

 proiettivamente a un fascio di piani e questa congruenza birazionalmente (in modo 

 opportuno) a una stella di rette (il cui centro non stia sull'asse di quel fascio). 



Diremo perciò: Oyni gruppo continuo di trasformazioni cremoniane dello spazio, il 

 quale muti in sé stesso un fascio di superficie razionali e una congruenza del 1" ordine 

 di curve unisecanti queste superficie, può ridursi birazionalmente a uno dei seguenti gruppi 

 completi, a un loro sottogruppo: 



1" Gruppo oo" delle trasformazioni quadratiche che mutano in sé stesso il si- 

 stema liticare ce» delle quadriche passanti per una retta fissa e per un punto fuori di 

 questa retta; 



2° Gruppo 00» delle trasformazioni cubiche che mutano in sé stesso il sistema li- 

 neare oo' delh superficie del 3° ordine aventi tre punti doppi fissi; 



3" Gruppo 03"'' ■ delle trasformazioni di ordine n che mutano in sé stesso il si- 

 stema lineare oo-"+', di grado 3(« — 1), delle superficie di ordine n aventi due dati 

 punti (m — 1)^''; gli stessi h — 2 piani tangenti fissi lungo la retta (necessariamente 

 (^ —2)'''^) che congiunge questi due punti, e contenenti ancora una retta (semplice) pas- 

 sante per uno di questi punti ('). 



Ora, vi sono alcuni casi in cui , dal fatto che è invariante una congruenza di 

 linee soddisfacente a certe condizioni , si può concludere senz'altro che deve essere 

 invariante anche un fascio di superficie (razionali) unisecanti le linee di questa con- 

 gruenza, oppure inversamente. È notevole ad es. la proposizione seguente, della quale 

 dovremo valerci in seguito: 



Un gruppo cremoniano 6 il quale trasformi in sé ogni curva di una certa con- 

 gruenza (f) e subordini sopra ciascuna di queste curve oo^ trasformazioni diverse, deve 

 trasformare in sé anche un fascio di superficie unisecanti queste stesse curve. 



Infatti la congruenza T potrà certo trasformarsi birazionalmente in una stella di 

 rette {^), e il gruppo G quindi in un gruppo Gì , il quale dovrà lasciar fisso ogni 

 raggio a, e perciò anche ogni piano a di questa stella. In ciascuno di questi piani 

 risulterà così subordinato un gruppo intransitivo, non integrabile; dal che si trae che 

 questo stesso gruppo vi ammetterà, oltre al fascio di raggi a, un secondo fascio inva- 



(') Le rette a e ft del n" prec. i.ouo qui sapposte incidenti. 

 Cfr. EF, § 8. 



