11 I GRUPPI DI JONQUIÈRES GENER.-iLIZZATI 



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riante di curve p, unisecanti le a. (Ciò perchè il gruppo stesso deve essere equivalente 

 al gruppo proiettivo oo^ di una quadrica di S3, sulla quale si siano fisssate tutte le 

 generatrici di un dato sistema; queste generatrici corrisponderebbero alle a, quelle 

 dell'altro sistema alle ^j). Le 00 1 curve p uscenti da un punto qualunque dello spazio 

 (e contenute rispett. negli ooi piani a che passano per questo punto) avranno per 

 luogo una superficie n unisecante l'intera stella delle a, la quale risulterà invariante 

 quando sia tale quel punto. A punti di uno stesso raggio a corrisponderanno super- 

 ficie TT formanti un fascio, il quale sarà invariante rispetto al gruppo tìi; anzi questo 

 fascio sarà sempre lo stesso, qualunque sia il raggio a che si considera, perchè il 

 fascio invariante di curve che ne viene segato sopra ogni piano a non può essere 

 distinto da quello delle /), sicché ogni superficie n dovrà contenere tutte le p 

 uscenti da uno qualunque dei suoi punti, e risulterà perciò già individuata da 

 quest'unico suo punto (arbitrano). Anche il gruppo G dovrà dunque trasformare in 

 se un fascio di superfìcie unisecanti le curve proposte: esso sarà perciò un gruppo 

 semplice co^ [doppiamente intransitivo). 



Più generalmente, potremo dire che rientrano nei tipi già considerati anche 

 tutti i gruppi cremoniani che trasformano in sé una congruenza di linee, e contengono 

 un sottogruppo (necessariamente invariante) che lascia fissa ciascuna di queste linee, sub- 

 ordinando su di essa oo-' trasformazioni diverse. Sarà infatti invariante anche rispetto 

 al gruppo complessivo quel fascio (unico) di superficie unisecanti queste linee che è 

 trasformato in sé dal sottogruppo ( x^) considerato. — È chiaro che si trovano in 

 queste condizioni tutti i gruppi cremoniani che trasformano in sé una congruenza di 

 linee, subordinano in questa congruenza un gruppo imprimitivo, e operano in modo oo^ sulle 

 singole linee della stessa congruenza. Infatti, imposta come fissa una generica di queste 

 linee, risulterà subordinato sopra questa linea un gruppo semplice c»s, e nella con- 

 gruenza un gruppo integrabile; si potranno dunque staccare dal sottogruppo cosi 

 ottenuto ulteriori sottogruppi invarianti entro di esso e di dimensioni decrescenti di 

 un'unità per volta, fino a un ultimo gruppo, contenuto invariantivamente anche nel 

 gruppo proposto, il quale lascerà fisse tutte le linee della congruenza considerata, 

 operando su di esse ancora in modo co^. 



Vi sono anche alcuni criteri analoghi, i quali dall'esistenza di un fascio inva- 

 riante di superficie soddisfacente a certe condizioni permettono di dedurre quella di 

 una congruenza, pure invariante, di linee unisecanti queste superficie: ma non ci 

 fermiamo ad esporli, perchè non avremo occasione di applicarli. 



CAPITOLO IL 



Gruppi integrabili. 

 Gruppi equivalenti a (frappi proiettivi sopra coni. 



8. — E noto (cfr. EF, § 9) che ogni gruppo continuo integrabile di trasforma- 

 zioni cremoniane dello spazio può ridursi birazionalmente a un gruppo trasformante in 

 sé una stella di rette. 



Sia pertanto Gr un gruppo cremoniano integrabile trasformante in sé una stella 

 di rette di centro P. Tra gli infiniti sistemi lineari di superficie invarianti rispetto 



