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ad osso costruiamone uno (I) composto di monoidi, ossia di superficie di un certo 

 ordine n aventi il punto P come (« — 1)p'°; basta perciò applicare la generazione di 

 sistemi lineari invarianti esposta in E F, § 2, a un qualunque monoide o sistema di 

 monoidi (i quali siano tali rispetto al punto P). Indichiamo con k la dimensione di 

 questo sistema lineare, e con k' {<k — 1) quella del massimo sistema lineare di coni 

 (I') in esso contenuto (la quale al pari di k, può ritenersi grande a piacere). 



Ciò posto, se k>k'^l, il gruppo G (che si suppone integrabile) oltre ai si- 

 stemi Z e Z' dovrà trasformare in se (almeno) una serie di sistemi lineari, a due a 

 due appartenentisi e tutti contenenti Z' e contenuti in Z, di dimensioni crescenti di 

 un'unità per volta da k' a k. Fra questi ve ne sarà uno di dimensione = k' -\- 1, 

 il quale potrà ritenersi individuato da k' -\- 1 coni indipendenti contenuti in Z', e 

 da una (fc' -|- 2)"'^ superficie la quale non sia più un cono di vertice P; dal che si 

 trae che tutte le superficie di questo sistema cc*'+i avranno come cono tangente 

 in P lo stesso cono (di ordine m — 1) che è ivi tangente a quest'ultima superficie. 



Diremo pertanto: Il gruppo G, supposto integrabile, deve trasformare in sé un 

 sistema lineare di superficie di un certo ordine n aventi a comune un punto (n — 1)'''° 

 col relativo cono tangente, e, eventualmente, altri elementi ancora. 



Si aggiunga che questo sistema lineare invariante può sùpporsi semplice, ba- 

 stando perciò che sia tale il sistema Z' come sistema di coni nella stella P (ossia 

 che questo sistema non appartenga ad alcuna involuzione di raggi della stella me- 

 desima). Indicatane pertanto con r = fe' + 1 la dimensione, esso rappresenterà ima 

 varietà Mg di uno spazio S,, contenente oo^ rette (corrispondenti ai raggi della stella P) 

 e incontrata da tutti gli iperpiani (di un sistema lineare co"-', ossia) passanti per 

 un certo punto secondo rigate aventi le genei-atrici fra quelle co"^ rette: tale Mg sarà 

 pertanto un cono col vertice in questo punto. Concludiamo perciò: 



Ogni gruppo continuo integrabile di trasformazioni cremoniane dello spazio è equi- 

 valente a un gruppo proiettivo sopra un cono (a tre dimensioni) di un certo spazio S^ 

 (e precisamente sopra un cono di prima specie, o che almeno possa considerarsi come 

 tale: sia cioè eventualmente anche di seconda specie, purché soltanto il gruppo di 

 cui si tratta vi ammetta un punto unito fisso sopra la retta asse). 



9. — Viceversa è anche facile vedere come si possano costruire tutti i gruppi cre- 

 moniani di Sg equivalenti a gruppi proiettivi sopra coni razionali di spazi S, (i quali 

 siano, possano considerarsi come di prima specie). Fra essi saranno certo compresi 

 tutti i gruppi integrabili. 



Partiamo perciò dal sistema lineare 00' rappresentativo di un tal cono, il quale, 

 facendo corrispondere alle generatrici del cono medesimo rette di una stella P, ri- 

 sulta appunto composto di superficie di un certo ordine n aventi il punto P come 

 (^_l)pio e uno stesso cono tangente in questo punto; più, eventualmente, altri ele- 

 menti ancora a comune. Si tratta ora di costruire il massimo gruppo cremoniano 

 trasformante in sé questo sistema lineare (Z), e cos'i pure il sistema lineare oo"-' (Z') 

 dei coni di vertice P in esso contenuti. (Questa seconda condizione é conseguenza 

 della prima se il cono di S, considerato non è luogo di co' piani). Per determinare 

 pertanto la trasformazione più generale di questo gruppo, si cominci coU'assegnare 

 ad arbitrio nella stella P una trasformazione cremoniana la quale muti in sé il si- 



