13 I GRUPPI DI JONQUIÈRES GENERALIZZATI 233 



stema lineare (di conij Z': trasformazione che dipenderà da un certo numero s(>0) 

 di parametri. Dopo di ciò si facciano ancora corrispondere fra loro due qualunque 

 superficie F, F' del sistema Z, non contenute in Z' (con che verremo a disporre di 

 /• ulteriori parametri). Allora, indicato con T un cono (certo esistente) del sistema Z' 

 il quale sia invariante rispetto alla trasformazione assegnata nella stella P, dovranno 

 corrispondei'si proiettivamente (entro Z) i due fasci f . F e T . F'; e per individuare 

 questa corrispondenza (di cui si conosce già l'elemento unito f e la coppia F, F') 

 occorrerà un nuovo (/• + s + 1)"° parametro. Risulterà così individuata una trasfor- 

 mazione cremoniana dello spazio — composta mediante la trasformazione assegnata 

 nella stella P e la proiettività fra i fasci f . F e f . F' — la quale evidentemente 

 muterà in se il sistema Z (e così pure Z'), e sarà anche la piii generale fra le ti-as- 

 formazioni che godono di questa proprietà. Concludiamo perciò: 



Ogni sistema lineare oo"" del tipo indicato (Z) è invariante rispetto a un gruppo 

 cremoniano 00'+ +'^ dove s(> 0) è la, dimensione del massimo gruppo cremoniano della 

 stella P cìie muta in sé stesso il sistema lineare oo'"' dei coni di questa stella contenuti 

 nel sistema proposto (co'). 



Il gruppo 00'+' i"' ottenuto in S3 è integrabile sempre e solo quando è tale que- 

 st'ultimo gruppo 00' (oppure quando, per generare il primo, se ne consideri soltanto 

 un sottogruppo integrabile). 



Ora, questo gruppo co' subordinato dal gruppo complessivo 6 nella stella di 

 rette P può sempre supporsi ridotto: 

 a un gruppo proiettivo; 



a un gruppo di trasformazioni quadratiche , trasformante in sé due diversi 

 fasci di piani (i cui assi indicheremo con p, q); — ovvero: 



a un gruppo di trasformazioni di .Jonquières di un certo ordine m, trasfor- 

 mante in se stesso il sistema lineare co'"+' dei coni di ordine m che hanno una data 

 generatrice p come (m — 1)p'^ e gli stessi m — 1 piani tangenti ( tTi, Ttg, . . .) lungo 

 di essa. 



In ciascuno di questi casi sappiamo che G dovrà trasformare in se stesso un 

 sistema lineare co'' (Z) di superficie di un certo ordine n colla multiplicità n — 1 nel 

 punto P, e contenente un sistema lineare 00"-' (Z') di coni di vertice P. Supponiamo 

 ora che lo stesso gruppo G trasformi in se, oltre a Z', anche un sistema lineare più 

 ampio Z'o (contenente il precedente) di coni di vertice P, aventi lo stesso ordine «; e 

 la dimensione di quest'ultimo sistema si indichi con k — 1 (> r). Allora i due sistemi 

 lineari Z e' Z'o, composti entrambi di superficie di ordine n, saranno contenuti in 

 uno stesso sistema lineare oo*^ (Zq), il quale sarà pure invariante rispetto a G (e sarà 

 dello stesso tipo di Z). 



Nel primo caso — quando cioè G opera proiettivamente sulla stella P — si può 

 assumere come sistema Z„' il sistema lineare di tutti i coni di ordine n appartenenti 

 alla stella P. 



Nel secondo caso il sistema Z' — comprendendovi eventualmente il piano (fonda- 

 mentale) pq contato un certo numero di volte (*) — si comporrà di coni di un certo 



(') Nel qual caso questo piano dovrà intendersi aggiunto uno stesso numero di volte, come parte 

 fissa, a tutto il sistema Z. 



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