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ordine m + n avente le rette p Q q come multiple di ordini rispett. w* e « ; e allora 

 potremo assumere come sistema l'o quello di tutti i coni di ordine m + n aventi 

 queste stesse multiplicità lungo p Q q- 



Nel terzo caso infine, se i coni del sistema Z' incontrano i piani del fascio p 

 secondo n rette variabili, questi stessi coni, comprendendovi eventualmente i piani 

 fondamentali tt, con opportune multiplicità, dovranno avere le rette infinitamente 

 vicine a p in questi stessi piani come multiple di ordine n, e quindi la p come mul- 

 tipla di ordine >(w— l)w; e poniamo sia di ordine ■= [m — 1) « + '> essendo allora 

 mn + l l'ordine dei coni medesimi. Allora assumeremo come sistema l'o il sistema 

 di tutti i coni di ordine mn -\- l aventi le accennate multiplicità lungo p e le altre 

 rette ad essa infinitamente vicine. 



Per la rappresentazione analitica , possiamo supporre di mandare il punto P 

 all'infinito sull'asse z, e di far coincidere nel secondo caso il piano 2>q e i^el terzo 

 caso tutti i piani tt, col piano all'infinito. Di piìi, si supponga scelto il sistema Z in 

 modo che il cono tangente P„ alle superficie di esso, e quindi anche a tutte le super- 

 ficie di Io, si riduca pure al piano all'infinito, contato un numero opportuno di volte {^). 



Allora, nel primo caso, il sistema lineare invariante Io sarà rappresentato dal- 

 l'equazione semplicissima: 



z = F„ {x y) 



dove F„ è un polinomio affatto arbitrario di grado n in x,y\ tale sistema ha la 

 dimensione r = («+!)(>'+ ' ^ g(j ^ invariante rispetto al gruppo rappresentato dalle 



Ci 



equazioni : 



, _ ax 4- 6;/ -{- e _ , _ (iiX + ft,y -\- e, _ ^, _ z -\- <S>„{xii) 



dove ct>„ è anche un polinomio arbitrario di grado n nelle variabili x, y; questo 

 gruppo dipende da '" .] + 9 parametri. 



Nel secondo caso, se i due fasci di piani di assi p, q si assumono rispett. 

 come fasci x = cost., y = cost., il sistema Io sarà rappresentato da un'equazione 

 del tipo: 



z — r„+„ {x y) 



nel cui secondo membro x & y entrino a gradi rispett. <m e <m; possiamo perciò 

 scrivere: 



z = x-u {y) + ^""Yi (y- + • • • + U iy) 



dove le f sono tutte polinomi di grado n in y. La dimensione r di questo sistema 



(') La riduzione di questo cono tancfente a un piano multiplo può sempre ottenersi con un'op- 

 portuna proiezione del cono a tre dimensioni rappresentante il sistema I. 



