15 I GRUPPI DI JONQUIÈRES GENERALIZZATI 235 



vale {m -\- 1) (n + 1) ; e il sistema stesso è invariante rispetto al gruppo (di dimen- 

 sione (w+ 1) (k + 1) + 7): 



, _ atx + bj . , _ rtjy + ^'2 . f _ \z+x'^ 'PiiC!/)+a;'"~'<Pi(y)4- - + <?>■. (y) 



^ ~ CiX+fh ' ^ c,<j+di' (c,a;4-rf,)".(cj,/ + rf,)" 



dove le cp sono polinomi di grado n in //, e si può ritenere rtjcZi — 6jCi = a2C^2 — 6202^!. 

 Nel terzo caso infine il sistema lineare (di coni) Z'o sarà la somma del fascio 

 di piani di asse p — e sia il fascio x = cost. — contato l volte, e di un sistema 

 lineare del tipo 1/ ^=^ ip,,, {x) contato n volte : perciò il sistema Zq sarà rappresentato 

 da un'equazione del tipo: 



z=ffi {x) + i/"-r,+- (^) + • • . + /■;+.. (^) 



dove le f sono polinomi in x di gradi eguali ai rispettivi indici. La dimensione r 

 di questo sistema vale ni (" 2 ) H~ (** 4~ 1) (^ 4" !)• -^ poiché in questo caso si ha 

 s = m -{- .', cosi il detto sistema sarà invariante rispetto a un gruppo dipendente da 



»i ["p) + (n + 1) (^ + 1) + m + 6 



parametri, il quale si rappresenterà colle equazioni: 



,, ax + b _ , Xy 4- Fn, (x) _ , ,az -f- »"opi(ar) -|- y""'- (pì+m{x) + - + <Pi+mn (x) 



^ cx + a ' ^ ~ {cx + dY" ' ^ ~ (cj! + ^7)'+-"" 



dove F„ e le cp sono sempre polinomi arbitrari, di gradi eguali ai rispettivi indici, 

 e si può ritenere ad — bc=l. 



Questi gruppi tipici completi sono tutti non integrabili. Però dal secondo e dal 

 terzo si staccano sottogruppi integrabili imponendo come fissi rispett. un raggio della 

 stella un piano dell'unico fascio invariante; e nel primo di essi il massimo sotto- 

 gruppo integrabile si ottiene imponendo come fissi un raggio e un piano della stella 

 invariante i quali si appartengano. 



CAPITOLO in. • 



Un teorema generale 

 sui gruppi cremoniani con un fascio invariante di piani. 



10. — Premessi i casi più semplici che formano oggetto dei precedenti Gap. I e II, 

 cominciamo ora lo studio ordinato di tutti i diversi tipi di gruppi di Jonquières ge- 

 neralizzati, e, per prima cosa, di quei gruppi G che trasformano in sé un fascio di 

 piani (n). Dimostreremo a tal uopo la proposizione seguente, la quale ci condurrà a 

 una prima classificazione di questi gruppi: 



