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O^ni gruppo cremoniano continuo dello spazio Sg il quale trasformi in sé un fascio 

 di piani è equivalente a un gruppo proiettivo sopra una varietà M3 di uno spaxia S,, 

 la quale (corrispondentemente a quel fascio invariante di piani) contiene: 



I. una serie oo* [razionale, normale) di piani; 



II. oppure una serie razionale oo^ (fascio) di quadriche [a due dimensioni); 



III. oppure una serie razionale oo^ [fascio) di coni [razionali, normali, di un 

 certo ordine n). 



Questi tre casi corrispondono evidentemente ai tre tipi di gruppi cremoniani che 

 possono venire subordinati da G nei singoli piani ir. 



Per dimostrare la proposizione enunciata basterà costruire in S3 un sistema li- 

 neare di superficie (Z), semplice e invariante rispetto a G, il quale sopra ogni 

 piano 7T seghi una rete omaloidica, oppure un sistema lineare equivalente a quello 

 delle coniche passanti per due punti fissi, ovvero anche un sistema equivalente a 

 quello delle curve di un certo ordine n aventi a comune un punto [n — 1)p'° colle 

 relative tangenti. E la costruzione di questo sistema Z si riconduce a sua volta ad 

 individuare sopra ciascun piano tt il sistema lineare di curve cp che deve esserne 

 segato ; poiché, conosciuto quest'ultimo (per ogni piano tt), si potrà tosto costruire Z 

 applicando la generazione esposta in E F, § 2 a una superficie o sistema di superficie 

 già incontranti i piani tt secondo curve cp. E chiaro altres'i che, fra i sistemi cosi otte- 

 nibili (e la cui dimensione può essere grande a piacere) , ve ne saranno di quelli 

 semplici, completi, e seganti anche sopra ciascun piano tt l'intero sistema lineare 

 proposto di curve cp (cosi risulteranno normali la varietà rappresentativa di Z e le 

 superficie che su di essa corrispondono ai piani tt). 



Ciò posto, si costruisca un sistema lineare qualunque (T) di superficie, invariante 

 rispetto a G; questo sistema segherà sopra ogni piano tt un sistema lineare di curve ip, 

 invariante rispetto al gruppo subordinato da 6 in detto piano. Questo stesso gruppo 

 (del piano ir) trasformerà in se anche ciascuno dei successivi aggiunti puri del si- 

 stema delle MJ, l'ultimo dei quali sarà un determinato sistema lineare, almeno coi, 

 composto di curve ij;' razionali o ellittiche. 



Supponiamo anzitutto che queste curve siano razionali. In tal caso il loro sistema, 

 supposto di dimensione > 1 [^): 



a) e una rete omaloidica, e allora esso può assumersi senz'altro come si- 

 stema lineare di curve 9 (atto a costruire il sistema Z); 



b) oppure è trasformabile birazionalmente nel sistema lineare oo^ di tutte le 

 coniche del piano; e allora come sistema lineare di curve qp può assumersi la rete 

 omaloidica (ben determinata) che contemporaneamente si trasforma nel sistema oc-' 

 delle rette; 



e) infine esso è il sistema rappresentativo di una certa rigata razionale 

 normale, e allora si potranno assumere come curve cp quelle che corrispondono alle 

 direttrici di questa rigata di ordine immediatamente superiore alle direttrici minime. 

 Queste curve (che potrebbero anche essere le stesse ip') formane infatti un sistema 

 lineare rappresentante una quadrica un cono razionale normale (di ordine > 1), e 

 certo invariante rispetto al gruppo subordinato da G in ogni singolo piano ir. 



(') NoEiHEE, ' Mathem. Ann. ,, voi. Ili, V; Guccia, ' Rend. di Palermo ,, 1886. 



