17 I GRUPPI DI JON'QUIÈRES GENERALIZZATI 237 



Rimane il caso in cui le curve (razionali) ip' formino in ciascun piano n sol- 

 tanto un fascio. Allora, fra gli infiniti sistemi lineari completi di curve unisecanti 

 le iji' (quindi anche razionali) e invarianti rispetto al gruppo subordinato in questo 

 piano, se ne prenda uno di dimensione minima (purché >1). Questo sistema lineare \i\, 

 rappresenterà ancora una quadrica o un cono (di ordine > 1), e potrà perciò assu- 

 mersi come sistema lineare di curve cp ogni qual volta esso sia unico (con quella 

 data dimensione) nel proprio piano, ovvero anche qualora, essendovene altri, esso 

 possa staccarsi razionalmente da questi — descriva cioè, al variare del proprio piano, 

 un sistema x' non contenente questi altri — . Dico che, se ciò non avviene, il gruppo G 

 è necessariamente integrabile (e equivalente quindi a un gruppo proiettivo sopra un 

 cono, sul quale al fascio dei piani tt corrisponderà un fascio invariante di coni a due 

 dimensioni; sicché il teorema enunciato sarà vero anche in questo caso). 



Per dimostrare che G è integrabile, basterà far vedere ch'esso subordina un 

 gruppo integrabile tanto nel fascio dei piani tt, quanto in ciascuno di questi piani. Ora, 

 al variare di un piano tt, uno qualunque dei sistemi | E | in esso contenuti descrive una 

 serie a>', della quale dobbiamo supporre che ciascun piano tt contenga due o piìi ele- 

 menti ; in questa serie nasce cos'i un'involuzione invariante rispetto a 6, sicché G stesso 

 non potrà operare su di essa, e quindi sul fascio dei piani tt, che in modo al piìi xi. — 

 D'altra parte in ciascun piano tt viene subordinato un gruppo equivalente a un gruppo 

 proiettivo sopra una quadrica o cono, su cui deve ancora risultare invariante un 

 sistema lineare identico a quello delle sezioni (iper)piane, ma da esso distinto. E un 

 tal gruppo è certo integrabile ; perché in nessuno dei casi — tutti noti — di gruppi 

 proiettivi non integrabili sopra le dette superiìcie esiste un siffatto (ulteriore) sistema 

 lineare invariante. 



Supponiamo infine che le curve i\)' costruite in ogni singolo piano tt siano 

 ellittiche. Il loro sistema sarà allora birazionalmente equivalente a uno dei sistemi 

 seguenti: (') 



a) sistema lineare di quartiche con due punti basi doppi; 



b) sistema lineare di cubiche; 



e) fascio di curve di ordine 3>' con 9 punti basi )-p''. 



Nel caso a), insieme al sistema lineare delle ip', sarà pure invariante in tt quel 

 sistema lineare x^ dì grado due (corrispondente al sistema di coniche cogli stessi 

 due punti basi) di cui il primo é doppio: questo potrà allora assumersi come sistema 

 lineare di curve (p. 



Nei casi b) e e) risulta invariante in tt almeno una rete omaloidica (-). Se questa 

 è unica, o può staccarsi razionalmente dalle altre pure invarianti, la assumeremo 

 come sistema delle cp; in caso contrario, lo stesso ragionamento di poc'anzi prova 

 che il gruppo 6 deve ancora essere integrabile. 



Risulta pertanto vero in ogni caso il teorema enunciato al principio di questo 

 n°. Per determinare tutti i tipi di gruppi ci'emoniani continui trasformanti in sé un 



(') Bertini. ' Annali ili Matem. ,, S. 2\ voi. 8°; Cuccia, " Rend. di Palermo „ 1887. 



(*) Enriques, ' Rend. Aco. dei Lincei „. maggio 1893; p. 470. In questa Nota è anzi applicato 

 l'intero ragionamento di cui qui ci siamo valsi alla riduzione dei gruppi cremoniani continui del 

 piano a tipi determinati. 



